2.5. Уравнение шредингера для системы частиц.

Тот факт, что в квантовой механике невозможно одновремённое определение координаты и импульса микрочастицы, приводит к тому, что “математический аппарат квантовой механики резко отличается от математического аппарата классической механики, в которой задание пары величии p_x, х имеет полный смысл”⁵. Принципиальное отличие математического аппарата квантовой механики от аппарата классической механики заключается в том, что в квантовой механике каждой измеряемой механической величине L (вернее, среднему значению этой величины) сопоставляется так называемый самосопряжённый (эрмитов) оператор : . Оператор изображает квантовую величину со свойствами, аналогичными классической величине L. В математическом смысле оператор определяет правило, в соответствии с которым одной функции сопоставляется другая

(2.14).

Среднее значение этой измеряемой физической величины в квантовой механике определяется формулой

(2.15)

Здесь интеграл берётся по всему объёму изменения переменных, от которых зависит величина . Можно показать, что для состояний, в которых измеряемая величина имеет единственное значение , выполняется уравнение

(2.16)

В общем случае уравнение (2.16) является линейным однородным дифференциальным уравнением, а функция и величина , при которых выполняется уравнение (2.16) называются соответственно собственной функцией и собственным значением оператора . Примерами операторов могут служить оператор проекции импульса

(2.17)

оператор кинетической энергии частицы

(2.18)

(Здесь - известный уже нам дифференциальный оператор Лапласа) и ряд других операторов. Отметим, что оператор потенциальной энергии совпадает с выражением для потенциальной энергии . Тогда оператор полной энергии частицы записывается как

(2.19),

и уравнение на собственное значение энергии для одной частицы будет иметь вид

(2.20).

Здесь - оператор Гамильтониана, или гамильтониан. Здесь следует сказать, что в классической механике под гамильтонианом понимают полную энергию, выраженную через импульсы и координаты.

С учётом (2.19) последнее уравнение перепишем в виде

(2.21)

Это уравнение уже нам знакомо – это есть уравнение Шредингера для стационарных состояний для одной частицы. Более общей формой уравнения Шредингера для стационарных состояний для системы частиц является уравнение (2.20), в котором теперь гамильтониан должен учитывать все виды взаимодействия между частицами.

ВЫВОДЫ. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ.

1. Каждая микрочастица обладает корпускулярно-волновым дуализмом. Это означает, что для микрочастицы присущи как волновые, так и корпускулярные свойства.

2. Каждой микрочастице сопоставляется волновая функция, явный вид которой находится из уравнения Шредингера.

3. Энергия частицы, которая находится в потенциальной яме, квантуется.

4. Для микрочастицы неприменимо понятие траектории.

5. На значения координат и импульсов частицы, также как энергии и времени, накладываются ограничения, вводимые соотношением неопределённостей Гейзенберга.

6. Для микрочастиц возможно прохождение через потенциальный барьер, высота которого больше полной энергии частицы.

7. Полная энергия микрочастицы не может обратиться в нуль, поскольку это запрещают соотношения неопределённостей.

8. Полная энергия микрочастиц не может быть точно представлена как сумма потенциальной и кинетической энергии частицы.

9. Заселение электронами оболочек атома осуществляется в соответствии с 2-я принципами – минимума энергии и принципа Паули.

10. Каждой измеряемой физической величине в квантовой механике соответствует самосопряжённый (эрмитов) оператор. Полной энергии системы частиц соответствует оператор Гамильтона, или гамильтониан.

11. Уравнение Шредингера является уравнением на собственную функцию и собственные значения оператора Гамильтона.

ЛЕКЦИЯ 3.