2.2 Парна регресія

В залежності від числа факторів, які включено в рівняння регресії, розрізняють просту (парну) і множинну регресії.

Проста регресія – це регресія між двома змінними, тобто модель виду:

,

(2.25)

де , – фактори, причому – впливаючий (незалежний, факторний признак), – залежний (результативний признак).

В даному випадку розглядаються два економічних показника і . Метою є дослідження залежності між ними: необхідно з'ясувати, існує ця залежність чи ні. Якщо вона існує, описати її формулами, щоб, знаючи значення одного показника, можна було вирахувати, яке значення прийме інший.

Множинна регресія – це модель виду:

.

(2.26)

У випадку парної кореляції вихідні дані пар , в прямокутній системі координат утворюють кореляційне поле або діаграму розсіювання (рис. 2.1).

Рисунок 2.1 – Кореляційне поле

При дослідженні двох факторів цей графік показує чи існує залежність між показниками, а також характер цієї залежності. Зокрема, на наведеному графіку видно, що зі зростанням показника значення фактора теж збільшується. Однак ця залежність є нечіткою, розмитою, або, правильно кажучи, статистичною.

Виділяють наступні типи залежностей між показниками:

1. Функціональна залежність має місце, коли кожному значенню фактора (із множини її можливих значень) відповідає тільки одне і тільки одне значення фактора , тобто є функцією : .

На кореляційному полі в цьому випадку дані спостережень розташовуються точно на деяку лінію (рис. 2.2).

Рисунок 2.2 – Приклад функціональної залежності

2. Статистична (стохастична, ймовірнісна) залежність спостерігається, коли при одному і тому значенні фактора , фактор може приймати різні значення.

На кореляційному полі в цьому випадку дані спостережень розмиті, наявне більш-менш значне розсіювання даних (рис. 2.3).

а) б)

Рисунок 2.3 – Приклади статистичної залежності

Виникнення поняття статистичної залежності обумовлено тим, що залежна змінна схильна до впливу ряду неконтрольованих або неврахованих факторів, а також тим, що вимірювання значень змінних неминуче супроводжується деякими випадковими похибками.

У цьому випадку прийнято говорити про тісноту статистичної залежності. На рис. 2.3 б) представлена тісна статистична залежність, на рис. 2.3а) – слабка.

3. Відсутність залежності (рис. 2.4):

Рисунок 2.4 – Приклад, коли залежність відсутня

Окремим випадком стохастичної форми зв’язку може бути кореляційний зв’язок.

Дві випадкові величини являються кореляційно залежними, якщо математичне очікування однієї з них міняється в залежності від зміни іншої.

Метод математичної статистики, який вивчає кореляційні зв’язки між явищами, називається кореляційним аналізом. Кореляційний аналіз представляє собою інструмент, який дозволяє кількісно оцінити зв’язки між великим числом взаємодіючих економічних явищ, при цьому деякі з них невідомі. Застосування кореляційного аналізу робить можливим перевірити різні економічні гіпотези про наявність і силу зв’язку між двома явищами або одним явищем та групою явищ, а також гіпотезу про форму зв’язку.

Кореляційною залежністю від називається функціональна залежність середнього значення від зміни .

.

(2.27)

Рівняння (2.27) називається рівнянням регресії від ; функція називається функцією регресії на ; її графік – лінією регресії на .

Аналогічно можна розглядати, як середнє значення змінюється при зміні .

Кореляційною залежністю від називається функціональна залежність середнього значення від зміни .

.

(2.28)

Рівняння (2.28) називається рівнянням регресії від ; функція називається функцією регресії на ; її графік – лінією регресії на (рис. 2.5).

Рисунок 2.5 – Лінії регресії

При виборі форми кореляційної залежності виходять перш за все із економічної природи явищ, простоти функції і вимоги на обмеження числа параметрів. Форму кореляційного зв’язку можна визначити як графічним, так і аналітичним методами.

Якщо обидві лінії регресії – прямі, то кореляцію називають лінійною.

При виконанні кореляційних розрахунків необхідно відрізняти факторну та результативну ознаку. Факторною називається така ознака, від котрої залежить друга ознака, а вона сама являється незалежною. На відміну від нього залежна ознака називається результативною. В процесі формалізації економіко-статистичної моделі факторна ознака позначається через , а результативна через , тобто умовно можна сказати, що факторна ознака виражає аргумент, а результативна – функцію.

Факторна ознака або фактор – це технічні, технологічні, природні, кліматичні, економічні, організаційні, соціально-демографічні та інші показники, що проявляють вплив на який-небудь результативний економічний показник: прибуток, собівартість, продуктивність праці та ін. Задача математичного моделювання полягає у виявленні кількісного зв’язку між факторами та результативним економічним показником.

Фактор, що включається в економетричну модель, повинен відповідати таким вимогам:

• мати кількісне вираження;

• між фактором і результуючим показником повинен бути причинний зв’язок;

• між фактором і результуючим показником повинен бути статистичний зв’язок;

• між факторами у багатофакторній моделі не повинно бути мультиколінеарності (тісного зв’язку між факторами).

Кореляційний зв’язок між факторами в економіці класифікують за ознаками:

• за типом – на прямий і обернений;

• за формою – на лінійний і нелінійний;

• за тіснотою зв’язку – на слабий, помірний, помітний, сильний, дуже сильний;

• за участю факторних ознак – на парний, множинний.

Будь-яка математична модель є спрощеним образом оригіналу, який може являти собою економічну систему із безлічі факторів, що впливають на залежну змінну, багато з яких фізично не можливо включити до моделі.

Тому задачу побудови якісної математичної моделі в формі рівняння регресії на основі певної статистичної вибірки можна умовно поділити на такі три етапи:

І. вибір форми рівняння регресії (специфікація моделі);

ІІ. визначення параметрів, які є складовими частинами вибраного рівняння;

ІІІ. аналіз якості рівняння як математичної моделі досліджуваного процесу та перевірка моделі на адекватність емпіричним даним із можливим наступним удосконаленням специфікації рівняння зв’язку.