7.3 Моделювання тенденції часового ряду: згладжування та аналітичне вирівнювання
Поширеним способом моделювання тенденції часового ряду є побудова аналітичної функції, яка характеризує залежність рівнів ряду від часу, або тренда. Цей спосіб називають аналітичним вирівнюванням часового ряду.
Оскільки залежність від часу може приймати різні форми, для її формалізації можна використовувати різні види функцій. Для побудови трендів найчастіше застосовуються такі функції:
лінійний тренд:
;
гіпербола:
;
експоненційний
тренд:
(або
);
степенева функція:
;
поліноми різних
степеней:
.
Параметри кожного
з перерахованих вище трендів можна
визначити звичайним МНК, використовуючи
в якості незалежної змінної час
,
а в якості залежної змінної –
фактичні рівні часового ряду
.
Для нелінійних трендів попередньо
проводять стандартну процедуру їх
лінеаризації.
Існує кілька
способів визначення типу тенденції. До
числа найбільш розповсюджених способів
відносяться якісний аналіз досліджуваного
процесу, побудова і візуальний аналіз
графіку залежності рівнів ряду від
часу. У цих же цілях можна використовувати
і коефіцієнти автокореляції рівнів
ряду. Тип тенденції можна визначити
шляхом порівняння коефіцієнтів
автокореляції першого порядку,
розрахованих за вихідним і перетвореним
рівнями ряду. Якщо часовий ряд має
лінійну тенденцію, то його сусідні рівні
і
тісно корелюють.
У цьому випадку коефіцієнт автокореляції
першого порядку рівнів вихідного ряду
повинен бути високим. Якщо часовий ряд
містить нелінійну тенденцію, наприклад,
у формі експоненти, то коефіцієнт
автокореляції першого порядку по
логарифмам рівнів вихідного ряду буде
вище, ніж відповідний коефіцієнт,
розрахований за рівнями ряду. Чим
сильніше виражена нелінійна тенденція
в досліджуваному часовому ряді, тим
більшою мірою будуть відрізнятися
значення вказаних коефіцієнтів.
Вибір найкращого рівняння у випадку, коли ряд містить нелінійну тенденцію, можна здійснити шляхом перебору основних форм тренда, розрахунку по кожному рівнянню скоригованого коефіцієнта детермінації і середньої помилки апроксимації. Цей метод легко реалізується при комп'ютерній обробці даних.
Досить поширеним
і простим методом аналізу динаміки є
згладжування
ряду. Суть
його полягає в заміні фактичних рівнів
середніми
за певними інтервалами. Варіація середніх
порівняно з варіацією рівнів первинного
ряду значно менша, а тому характер
динаміки проявляється чіткіше. Процедуру
згладжування називають фільтруванням,
а оператори, за допомогою яких вона
здійснюється, – фільтрами.
На практиці використовують переважно
лінійні фільтри, з-поміж яких найпростіший
– ковзна
середня
з
інтервалом згладжування
.
Інтервали
поступово зміщуються
на один елемент:
;
;
і так далі.
Для кожного з них
визначається середня
,
яка припадає на середину інтервалу.
Якщо
– непарне
число, тобто
,
а ваги членів ряду в межах інтервалу
однакові
,
то
,
де
– фактичне
значення рівня в
-й
момент;
– порядковий номер рівня в інтервалі.
При парному середина інтервалу знаходиться між двома часовими точками і тоді проводиться додаткова процедура центрування (усереднення кожної пари значень).
Ковзна
середня з однаковими вагами
при
згладжуванні динамічного
ряду погашає не лише випадкові, а й
властиві конкретному
процесу періодичні коливання. Припускаючи
наявність таких
коливань, використовують зважену ковзну
середню, тобто кожному рівню в межах
інтервалу згладжування надають певну
вагу.
Способи формування вагової функції
різні. В одних випадках
ваги відповідають членам розкладання
бінома
,
при
,
скажімо
.
В інших випадках до даних інтервалу
згладжування обирається певний поліном,
наприклад, парабола
,
де
.
Тоді вагова функція така:
для
:
;
для
:
і так далі.
Як видно з формул,
ваги симетричні відносно центра інтервалу
згладжування, сума їх з урахуванням
винесеного за дужки множника дорівнює
.
Основна перевага
ковзної середньої – наочність і простота
тлумачення тенденції. Проте не слід
забувати, що ряд ковзних середніх
коротший за первинний ряд на
рівнів, а
отже, втрачається інформація про крайні
члени ряду. І чим ширший інтервал
згладжування, тим відчутніші втрати,
особливо нової інформації. Окрім того,
маючи спільну основу розрахунку, ковзні
середні виявляються залежними, що при
згладжуванні значних коливань навіть
за відсутності циклів у первинному ряду
може вказувати на циклічність процесу
(ефект Слуцького).
У симетричних фільтрах стара і нова інформація рівновагомі, а при прогнозуванні важливішою є нова інформація. У такому разі використовують асиметричні фільтри. Найпростіший з них – ковзна середня, яка замінює не центральний, а останній член ряду (адаптивна середня):
|
(7.4) |
.
У наведеній формулі
перший елемент характеризує інерцію
розвитку, другий – адаптує середню до
нових умов. Таким чином середня
з кожним кроком ніби оновлюється. Ступінь
оновлення визначається постійною вагою
–
.