6.4 Загальна модель множинної лінійної регресії
Загальний запис теоретичної лінійної множинної регресії може бути зроблений в такому виді:
|
(6.15) |
де
– теоретичні коефіцієнти регресії
(часткові коефіцієнти) або параметри
теоретичної регресії, які характеризують
реакцію залежної змінної
на зміну кожного регресора
;
– вільний член, який визначає значення за умови, коли значення регресорів дорівнюють нулеві;
– значення
-го
регресора при
-ому
спостереженні;
– випадковий
збудник при
-ому
спостереженні.
Для однозначного визначення параметрів моделі (6.15) необхідно, щоб виконувалась нерівність:
|
,де – число спостережень;
– число регресорів в моделі.
У векторно-матричній формі теоретичну модель (6.15) можна подати так:
|
(6.16) |
де
|
Компоненти
вектора
є величинами сталими (
),
але невідомими. Їх необхідно оцінити
шляхом обробки вибірки, а тому надалі
будемо мати справу із емпіричною моделлю,
яка є прообразом теоретичної (6.15), (6.16).
6.5 Емпірична модель множинної лінійної регресії
Емпірична модель являє собою статистичний аналог теоретичної моделі (6.15). За її допомогою визначаються статистичні оцінки параметрів . При цьому використовується статистична обробка вибірки.
В загальному вигляді емпірична модель записується як:
|
(6.17) |
У векторно-матричній формі система (6.17) має вид:
|
(6.18) |
,де
|
Компоненти
вектора
є статистичними оцінками компонент
теоретичного вектора
лінійної множинної регресії (6.15), а
компоненти
вектора похибок
– статистичні оцінки випадкових
збудників
вектора
цієї ж моделі.
Якщо теоретичний
вектор
є величиною сталою і нам невідомою, то
емпіричний вектор
можна визначити шляхом обробки
статистичної інформації вибірки обсягом
.
Враховуючи те, що вибірка складає лише
незначну частину генеральної сукупності
(
),
то інформація, яку одержимо при
статистичній обробці, про регресори
моделі буде не повною і для кожної іншої
вибірки буде потерпати певні зміни.
Отже, компоненти
емпіричного вектора
будуть містити елемент випадковості.
Таким чином,
,
як і сам вектор
будуть випадковими величинами, які
мають певні закони розподілу ймовірностей
із відповідними числовими характеристиками.
Із вище наведеного
можемо тепер стверджувати, що
є статистичною оцінкою для теоретичного
вектора
.
А тому постають питання математичної
статистики: зміщена чи незміщена ця
статистична оцінка; в якому довірчому
інтервалі із заданою надійністю
можуть перебувати теоретичні компоненти
(параметри)
і сама функція регресії; як здійснити
перевірку на статистичну значущість
теоретичних параметрів
по заданому рівню значущості
.
Для вирішення цих питань необхідно визначити числові характеристики для параметрів і для самої функції регресії, використовуючи при цьому елементи матричної алгебри як інструментарію, застосовуючи який можна без громіздких викладок отримати необхідні результати.