5.5 Довірчий інтервал і прогноз для нелінійної моделі

Для лінеаризованої моделі будується довірчий інтервал по тим же формулам, що і для лінійної моделі, а потім використовуються формули зворотнього переходу.

При такому переході довірчі інтервали нелінійної регресії будуть несиметричними відносно лінії регресії.

Аналогічна ситуація і при визначенні довірчого інтервалу для прогнозного значення.

5.6 Коефіцієнти еластичності для нелінійних моделей

1. Квадратична залежність: .

.

(5.10)

2. Кубічна залежність: .

.

(5.11)

3. Гіперболічна залежність: .

.

(5.12)

4. Логарифмічна залежність: .

.

(5.13)

5. Залежність виду: .

.

(5.14)

6. Залежність виду: .

.

(5.15)

7. Показникова залежність: .

.

(5.16)

8. Степенна залежність: .

.

(5.17)

5.7 Аналіз монопольного ринку

Розглянемо застосування квадратичної регресії для створення і використання економетричної моделі.

Нехай монополіст виробляє певний товар і диктує ціну на ринку. На зміну цін ринок реагує зміною попиту. Нехай відомі статистичні дані про те, як зі зміною цін змінювався попит на товар:

ціна Р	попит D
P1	D1
P2	D2
P3	D3
.....	.....
Pn	Dn

Нанесені на графік (рис. 5.1) дані підтверджують відомий економічний закон: із зростанням ціни попит на товар знижується.

Якщо побудувати для описання цієї залежності рівняння регресії , то за допомогою цієї теоретичної залежності можна буде досліджувати залежність доходу і прибутку від ціни .

Мета дослідження: необхідно розрахувати оптимальні ціни, при яких будуть максимальними дохід або прибуток.

Дані нанесені на кореляційне поле свідчать про те, що залежність явно відрізняється від лінійної. Приймемо квадратичну залежність виду:

.

(5.18)

Рисунок 5.1 – Залежність попиту від ціни

Тоді величина доходу дорівнює добутку ціни на обсяг реалізованого попиту:

.

(5.19)

Прибуток від реалізації товару дорівнює різниці доходу і витрат :

.

(5.20)

У свою чергу, витрати складаються з постійних ( ) і змінних витрат ( ), які пропорційні обсягу виробленої продукції ( – витрати на одиницю продукції):

.

(5.21)

Таким чином, для прибутку отримуємо формулу:

.

(5.22)

Залежність доходу, витрат і прибутку від ціни товару буде мати вид, зображений на рис. 5.2.

Графіки відображають відомий факт: підвищення цін на товар приводить до зростання доходів (та прибутку) лише до певного рівня. Після того, як ціни перевищать цей рівень доходи починають знижуватися, тому що занадто різко падає попит і зниження обсягів продажів вже не компенсується зростанням ціни.

Щоб знайти оптимальну величину ціни, при якій максимальні дохід або прибуток (5.19), потрібно взяти аналітичні вирази для залежності цих величин від ціни (5.22), похідну від них за ціною та прирівняти її нулю:

Рисунок 5.2 – Залежність доходу, витрат і прибутку від ціни

– оптимальна ціна по доходу:

;

(5.23)

– оптимальна ціна по прибутку:

.

(5.24)

Вирішуючи ці квадратні рівняння і вибираючи з двох коренів те значення, яке відповідає максимуму (орієнтуючись на графіки відповідних функцій), знаходимо значення ціни, при якій максимальні дохід або прибуток.