5.3 Методи обчислення невідомих параметрів нелінійних моделей

Рівняння параболічної регресії має вид:

.

(5.1)

Якщо використовувати метод найменших квадратів (МНК), то для коефіцієнтів складається і розв’язується нормальна система лінійних рівнянь з матрицею коефіцієнтів: .

Величини, що входять сюди, підраховуються за даними спостережень. Ліва частина – це середні значення різних ступенів фактора , права – це середні значення добутків: або .

Підраховуючи ці значення і розв’язуючи систему рівнянь, можна визначити коефіцієнти регресії.

Можна підраховувати кожну з цих величин окремо. Але можна застосувати для цього й інший спосіб, матричний. При цьому вся матриця коефіцієнтів системи підраховується відразу.

Для цього спочатку потрібно сформувати вихідні дані у вигляді матриць наступного виду:

Для фактора ця матриця складається з трьох стовпців: стовпець з одиниць; стовпець власне ; стовпець їх квадратів.

Тут величини записані так само, як і в рівнянні регресії:

.

(5.2)

Тепер вихідні дані зібрані в двох матрицях. Це матриця і матриця .

Матриця нормальної системи обчислюється добутком матриць:

,

(5.3)

де – транспонована матриця .

Стовпець правих частин нормальної системи обчислюється як добуток матриць:

.

(5.4)

Якщо невідомі коефіцієнти сформувати в матрицю:

,

то система теж може бути записана в матричному виді:

або .

(5.5)

Тоді її розв’язок можна отримати в матричному записі, у виді оберненої матриці:

або .

(5.6)

Зауваження. Якщо будувати рівняння регресії у виді багаточлена:

(5.7)

і при цьому використовувати матричний спосіб складання і розв’язання нормальної системи, то формули не зміняться, тільки матриця вихідних даних буде містити вже стовпців.

5.4 Перевірка адекватності квадратичного рівняння регресії

Рівняння нелінійної регресії, так як і лінійній залежності, доповнюється показником кореляції, а саме коефіцієнтом детермінації, який дозволяє зробити висновок про правильність вибору формул нелінійної залежності і про адекватність нелінійної регресії:

,

(5.8)

де – значення результату по відповідній нелінійній моделі.

Для перевірки адекватності побудованого рівняння нелінійної регресії використовується критерій Фішера:

1. Розраховується фактичне значення критерію :

,

(5.9)

де – число спостережень;

– число параметрів при змінних , що включено в регресійну модель.

2. По таблицям критичних точок Фішера визначається :

,

де – рівень значимості (ймовірність помилки при перевірці гіпотези);

, – числа ступеней вільності.

Зауваження. Для нелінійної моделі: , ( – число коефіцієнтів в рівнянні регресії).

3. Порівнюючи і , робимо висновок про адекватність (або неадекватності) кореляційної моделі:

– якщо – побудована регресійна модель є неадекватною і не може бути використана для подальших досліджень;

– якщо – побудована регресійна модель адекватно описує статистичні дані і може бути використана для подальших досліджень.

Порівнюючи, робимо висновок про адекватність (чи неадекватність) побудованої кореляційної моделі, причому оцінюємо і ступінь адекватності. Чим більше в порівнянні з , тим вище адекватність моделі. Тому висновок повинен містити оцінку ступеня адекватності.