5.2 Метод лінеаризації
Для нелінійних регресій використовується метод лінеаризації, який дозволяє зводити нелінійні моделі до лінійних. Проводячи заміну змінних так, щоб у нових змінних залежність стала лінійною, і перетворивши рівняння до лінійної залежності , коефіцієнти регресії можна визначити за допомогою методу найменших квадратів з нормальної системи рівнянь для коефіцієнтів регресії. Для квазілінійних регресій це можна здійснити завжди, а для власне нелінійних – не завжди.
Найпростіші перетворення нелінійних моделей у лінійні:
1. Квадратична
залежність:
.
Зробимо заміну:
.
Після цього рівняння
регресії стає лінійним
(двофакторна лінійна модель), і можна
користуватися всіма співвідношеннями,
отриманими для лінійної регресії.
Потрібно тільки з самого початку
перерахувати вихідні дані для фактора
(
).
2. Кубічна залежність:
.
Зробимо заміну:
,
.
Після цього рівняння
регресії стає лінійним
(трьохфакторна лінійна модель), і можна
користуватися всіма співвідношеннями,
отриманими для лінійної регресії. Для
побудови початкової моделі необхідно
перерахувати початкові дані у відповідності
до проведеної заміни для факторів
(
),
(
).
3. Гіперболічна
залежність:
.
Зробимо заміну:
і отримаємо лінійне рівняння.
.
Потрібно тільки з самого початку
перерахувати вихідні дані для фактора
(
).
4. Логарифмічна
залежність:
.
Зробимо заміну:
.
Після цього рівняння
регресії стає лінійним
і можна користуватися всіма співвідношеннями,
отриманими для лінійної регресії.
Потрібно тільки з самого початку
перерахувати вихідні дані для фактора
(
).
5. Залежність виду:
.
Зробимо заміну:
і отримаємо лінійне рівняння.
.
Потрібно з самого початку перерахувати
вихідні дані для фактора
(
).
6. Залежність виду:
.
Зробимо заміну для
:
.
Після цього рівняння
регресії стає лінійним
,
і можна користуватися всіма співвідношеннями,
отриманими для лінійної регресії. Для
побудови початкової моделі необхідно
перерахувати початкові дані у відповідності
до проведеної заміни для фактора
:
(
).
А також після того, як із розв’язку
нормальної системи рівнянь знайдені
невідомі коефіцієнти моделі, необхідно
виконати зворотній перехід до
:
.
7. Показникова
залежність:
.
Для лінеаріації показникових моделей
використовуються логарифмічні
перетворення. Спочатку прологарифмуємо
праву та ліву частину залежності:
.
Тоді:
.
Зробимо заміну:
,
,
.
Після цього рівняння
регресії стає лінійним
і можна користуватися всіма співвідношеннями,
отриманими для лінійної регресії.
Потрібно тільки з самого початку
перерахувати вихідні дані для фактора
:
(
).
А також після того, як із розв’язку
нормальної системи рівнянь знайдені
коефіцієнти
і
,
необхідно виконати зворотній перехід
до початкових коефіцієнтів
(
)
і
(
),
і зворотній перехід до
:
.
8. Степенна залежність: .
Лінеаризація
проводиться логарифмування.
Зробимо заміни
;
;
;
.
Після цього рівняння
регресії стає лінійним:
.
Після розв’язання
нормальної системи рівнянь необхідно
виконати зворотній перехід до
(
),
(
)
і до
(
).
Зауваження. У випадку еквівалентного перетворення нелінійної за параметрами моделі до лінійної за параметрами, метод найменших квадратів може використовуватись у раніш розглянутому його варіанті у повному обсязі. Інша справа, що теоретичне обґрунтування отриманих оцінок стає дещо проблемним, бо перехід порушує припущення про властивості збурень на яких основана класична лінійна регресійна модель.