4.7 Перевірка значимості параметрів регресійної моделі та коефіцієнту кореляції

Як вказувалось раніше, підраховані за статистичними даними значення коефіцієнту кореляції та параметрів регресії не є істинними значеннями, а лише оцінками для істинних (дійсних) значень.

У випадку, коли проведено небагато спостережень (малий обсяг вибірки), то навіть досить велике за розміром значення коефіцієнта кореляції ще не означає, що між величинами є лінійна залежність. Істинне значення коефіцієнта кореляції може дорівнювати нулю.

Для оцінки статистичної значимості коефіцієнту кореляції та параметрів регресії застосовується -критерій Стьюдента. Висувається гіпотеза про випадкову природу показників, тобто про їх не значиму відмінність від нуля.

Гіпотеза перевіряється в наступному порядку:

1. По виборці початкових даних ( – об’єм вибірки) і побудованій регресійній моделі підраховуються фактичні значення критерію Стьюдента для коефіцієнту кореляції і для кожного параметра рівняння регресії:

.

(4.28)

Випадкові помилки параметрів лінійної регресії і коефіцієнта кореляції визначаються за формулами:

, , ,

(4.29)

де .

В парній лінійній регресії зв’язок між -критерієм Фішера та -статистикою Стьюдента виражається рівністю:

.

(4.30)

2. За статистичними таблицями критичних точок розподілу Стьюдента або використовуючи спеціальні статистичні пакети або функції для моделі з рівнем значимості та ступенями вільності знаходимо :

.

Зауваження. Для лінійної моделі: .

3. Порівнюючи фактичне та критичне (табличне) значення -статистики по всім параметрам регресії та коефіцієнту кореляції приймаємо або відкидаємо гіпотезу :

– якщо , то гіпотеза приймається і з рівнем значимості визнається випадкова природа формування параметрів регресії , або коефіцієнту кореляції ;

– якщо , то гіпотеза відкидається, тобто , та не випадково відрізняються від нуля та сформовані під впливом систематично діючого фактора . Параметри , та є статистично значимими.

4.8 Побудова інтервалів довіри для параметрів регресійної моделі

Для того, щоб визначити, як же оцінки параметрів регресії , пов’язані з параметрами , , потрібно побудувати інтервали довіри. Адже значення параметрів , рівняння регресії , які знайдені за МНК з нормальної системи, а також саме рівняння регресії – не є істинними значеннями, а лише наближеними, як і все, що обчислюється за статистичними даними. Для істинних значень будуються інтервали довіри: , , в яких істинні значення параметрів моделі будуть лежати із заданою ймовірністю.

Для розрахунку інтервалів довіри визначають граничну помилку (розмах інтервалу довіри) для кожного параметра за формулами (для лінійної регресії):

, ,

(4.31)

або:

, ,

(4.32)

де коефіцієнт визначається по таблицям критерію Стьюдента;

– стандартне відхилення залишків, яке характеризує розкид даних спостережень відносно лінії регресії;

– середнє квадратів фактору .

Чим менший розкид статистичних даних відносно побудованої лінії регресії, тим менші значення дисперсії і стандартного відхилення залишків, і тим вужчі довірчі інтервали.

З іншого боку розмах довірчих інтервалів можна зменшити, збільшуючи обсяг вибірки , тобто кількість спостережень.

Формули для розрахунку інтервалів довіри мають наступний вид:

або ,	(4.33)
або .	(4.34)

Якщо в межі інтервалу довіри потрапляє нуль, тобто нижня границя від’ємна, а верхня додатня, то оцінюваний параметр приймається рівним нулеві, тому що він не може одночасно приймати і додатне, і від’ємне значення.