3.2 Деяка інформація про випадкові збудники

Причини, які спонукають появу випадкових збудників в рівняннях (3.1) можуть бути такими:

1. Слід пам’ятати, що будь-яка регресійна модель є в певній мірі спрощенням реальної ситуації, яка в дійсності являє собою складне переплетіння різних факторів, багато з яких практично неможливо врахувати в моделі.

Так, наприклад, попит на товар буде визначатися як його ціною, так і ціною на ті товари, які можуть його заміняти, ціною на супроводжуючі товари, доходами споживачів та їх вподобаннями та інше. Однак в цьому переліку не враховуються традиції як релігійні, так і національні, особливості кліматичних умов і багато інших факторів. При цьому ще виникає проблема визначення факторів, які за певних умов будуть домінуючими, а якими можна знехтувати. В ряді випадків існують фактори, які не можна використати в моделі тому, що для них проблематично одержати необхідні статистичні дані. Наприклад, величина заощаджень родини визначається не лише доходами її членів, а й їхнім здоров’ям, інформацію про яке в цивілізованих країнах тримають в таємниці. Окрім цього, багато факторів мають випадковий характер (погода, стихійні лиха), які посилюють неоднозначність.

2. Неправильно обрана функціональна залежність. Це може відбутися внаслідок недостатнього дослідження процесу, який підлягає моделюванню. Так, виробнича функція, яка описує залежність від одного фактора може бути виражена лінійним співвідношенням:

,

(3.5)

хоча насправді, при більш ретельному дослідженні, стане відомо, що співвідношення між та матиме нелінійний характер, наприклад:

.

(3.6)

Нагадаємо, що вибір форми функціональної залежності між змінними називають специфікацією моделі.

3. Можуть бути невірно обрані пояснюючі змінні.

4. В багатьох моделях залежність між факторами має складну форму зв’язку між цілими комплексами подібних величин. Так, при дослідженні залежності попиту в якості пояснюючої вибирають змінну, яка уособлює складну комбінацію індивідуальних запитів, що мають на неї певний вплив поряд із факторами, які враховані в моделі. Здійснюється так зване агрегування пояснюючих змінних, що може бути однією із причин появи в моделі випадкового збудника .

5. Можуть бути допущені помилки при аналізі та обробці статистичних даних, які також сприятимуть появі .

6. Як правило, будь-яка статистична інформація є обмеженою і, крім цього, більшість моделей описуються неперервними функціями, але при цьому використовуються вибіркові дані, які мають дискретну структуру.

7. Слід також зважити на наявність людського фактора, який в тій чи іншій мірі обов’язково є присутнім в будь-якому економічному процесі, але врахувати який в моделі поки що практично неможливо. В певних ситуаціях цей фактор може навіть якісну модель деформувати до примітивного рівня.

3.3 Умови Гауса-Маркова. Гомоскедастичні та гетероскедастичні моделі

Для визначення емпіричного вектора параметрів моделі необхідно застосувати метод найменших квадратів (МНК), а для цього потрібно, щоб виконувалися певні умови на вхідні дані, які називаються умовами Гаусса-Маркова.

1. Математичне сподівання випадкових відхилень повинно дорівнювати нулю:

.

(3.7)

Ця умова вимагає, щоб випадкові відхилення в середньому не впливали на залежну змінну , тобто в кожному конкретному спостереженні відхилення може набувати додатні або від’ємні значення, але не повинно спостерігатися систематичне зміщення відхилень в переважній більшості в бік одного знаку.

Із врахуванням вищесказаного, використовуючи рівняння (3.1), маємо:

.

(3.8)

2. Дисперсія випадкових відхилень повинна бути сталою величиною:

.

(3.9)

Ця вимога передбачає, що не зважаючи на те, що при кожному конкретному спостереженні випадкове відхилення може виявитися відносно великим чи малим, це не повинно складати основу для апріорної причини, тобто причини, що не базується на досвіді, що спонукала б велику похибку.

3. Випадкові відхилення та , повинні бути незалежними одне від одного.

Виконання цієї умови припускає, що між будь-якими випадковими відхиленнями відсутній систематичний зв’язок, тобто величина та знак будь-якого випадкового відхилення не буде являтися причиною величини та знаку будь-якого іншого випадкового відхилення. Цю умову можна записати так:

(3.10)

Тут є математичний запис коваріаційного (кореляційного) моменту.

4. Випадковий вектор відхилень повинен бути незалежним від регресорів матриці .

Ця умова виконується автоматично, коли пояснюючі змінні не є стохастичними величинами в заданій моделі.

, бо , а ( не є випадковою величиною).

5. Компоненти випадкового вектора повинні мати нормальний закон розподілу ~ . Тоді випадковий вектор буде мати нормальний закон розподілу виду .

6. Між регресорами , матриці повинна бути відсутня лінійна (кореляційна) залежність. Для цього випадку повинна виконуватися умова:

.

Слід при цьому наголосити, що матриця є симетричною.

7. Економетричні моделі повинні бути лінійними відносно своїх параметрів.

Економетричні моделі, для яких виконуються умови 1-7, називають класичними лінійними моделями.

Моделі, для яких виконується умова 2 (сталість дисперсії випадкових відхилень), називають гомоскедастичними.

Моделі, для яких не виконується умова 2 ( , ), називають гетероскедастичними.

Слід також зауважити, що ранг матриці повинен бути

.

Виконання перелічених умов дає право на використання МНК для визначення статистичних оцінок параметрів теоретичної лінійної множинної регресії, перевірку статистичних гіпотез та побудови інтервальних статистичних оцінок.