Глава 4. Деление в кольце []
Рассмотрим деление в кольце [ ]:
Из примеров видно, что если в знаменателе дроби имеется иррациональность, то всегда возможно от нее избавиться за счет сокращения дроби или умножения числителя и знаменателя на одно и то же число (в примере показано умножение на сопряженное). В приложении к основной части работы приведено несколько других примеров избавления от иррациональности.
В результате преобразований в знаменателе дроби остается число a Є . Мы знаем, что в поле рациональных чисел операция деления никогда не приведет к выходу за пределы области, то есть поле замкнуто относительно деления. Теперь мы видим, что кольцо [ ] тоже замкнуто относительно деления. Таким образом, оно является полем, то есть [ ] = ( ).
Стоит отметить, что множество, состоящее из элементов поля и всех иррациональных чисел, называется множеством действительных чисел .
Процедура избавления от иррациональности в знаменателе дроби позволила доказать, что кольцо [ ] и множество действительных чисел являются полями. В этом и заключается основной математический смысл данной процедуры. Деление оказалось операцией с неограниченной выполнимостью.
Глава 5. Поле комплексных чисел ℂ
Используем
алгебраическое расширения полей далее.
Рассмотрим уравнение x² + 1 = 0.
Решить это уравнение в поле действительных
чисел
нельзя. Мы можем условно обозначить
его корни, как
и добавить их к полю .
Получим новое множество.
Добавляя к полю новые символы, можно получить новую числовую область – множество комплексных чисел ℂ.
В этом случае вводим новый символ i и принимают, в качестве определения, что i² = –1. Этот объект – «мнимая единица» – не имеет ничего общего с числом как орудием счета. Это – отвлеченный символ, подчиненный основному закону i² = –1, и ценность его зависит исключительно от того, будет ли достигнуто в результате действительно полезное расширение числовой области.
Заключение
Настоящей причиной избавления от иррациональности в знаменателе дроби является именно процедура конечных расширений полей, а не всякие другие объяснения смысла этой операции. Показав возможность избавления от иррациональности, мы тем самым доказываем, что многие кольца, содержащие иррациональные числа, являются полями.
Литература
1) Ван дер Варден Б. Л. Алгебра
2) Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?
Приложение
1)
2)
3)
4)
5)
