Лицей № 393 с углубленным изучением математики Кировского района Санкт-Петербурга IX НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ УЧАЩИХСЯ КИРОВСКОГО РАЙОНА Секция: математика Математический смысл процедуры избавления от иррациональности в знаменателе дроби Выполнил: Александров Иван 9в класс Руководитель: Васина Г. С. Санкт-Петербург 2008 год

Содержание работы

ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

ГЛАВА 1. КОЛЬЦА. КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ  . . . . . . . . . . . . . . . . 4

ГЛАВА 2. ПОЛЯ. ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ  . . . . . . . . . . . 6

ГЛАВА 3. ПОСТРОЕНИЕ НОВОГО КОЛЬЦА ИЗ ПОЛЯ  . . . . . . . 8

ГЛАВА 4. ДЕЛЕНИЕ В КОЛЬЦЕ  [ ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

ГЛАВА 5. ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ ℂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

ЗАКЛЮЧЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

ЛИТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

ПРИЛОЖЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Введение

В настоящей работе есть желание освятить некоторые темы школьной математики с точки зрения их математического содержания. Одно из популярных заданий предлагаемых учителями для школьников – это избавление от иррациональности в знаменателе дроби. Эта иррациональность бесследно не исчезает, а перейдет в числитель, и это считается хорошим тоном. Есть объяснения некоторых учителей, что их заботят типографские причины об экономии места, то есть они считают, что корень в числителе занимает меньше места в машинной памяти и на бумаге. Я думаю, что причина не в этом. Здесь проявляется замечательный эффект из науки под названием – теория полей и т.д. Этот эффект я и хочу продемонстрировать в своей работе.

Глава 1. Кольца. Кольцо целых чисел 

Кольцо – это множество, на котором заданы две алгебраические операции: + и × (сложение и умножение), со следующими свойствами:

• Коммутативность сложения

a + b = b + a

• Ассоциативность сложения

a + (b + c) = (a + b) + c

• Существование нейтрального элемента относительно сложения. Нейтральный элемент 0

a + 0 = 0 + a = a

• Существование противоположного элемента

a + b = b + a = 0

• Дистрибутивность

a (b + c) = ab + ac

Кольцо также может обладать и другими свойствами:

• Ассоциативность умножения

a (bc) = (ab) c

• Наличие единицы (нейтральный элемент относительно умножения)

a × 1 = 1 × a = a

• Коммутативность умножения

ab = ba

• Отсутствие делителей нуля

Если ab = 0, то a = 0 или b = 0

Рассмотрим уравнение a + x = b, решением которого будет x = b – a. В области натуральных чисел , где можно неограниченно производить операции сложения и умножения, но не всегда можно вычитать, разность b – a имеет смыл лишь при ограничении b > a, так как только при этом условии корнем данного уравнения будет натуральное число.

Чтобы снять это ограничение были введены новые символы: 0, –1, –2, –3… С их появлением вычитание стало обладать свойством неограниченной выполнимости в области кольца всех целых чисел .

Вводя новые символы и расширяя числовую область, необходимо определить операции с новыми числами, не нарушая первоначальных правил арифметических операций. Основные законы арифметики продолжают сохраняться и в кольце целых чисел :

a + b = b + a (коммутативный закон сложения)

a + (b + c) = (a + b) + c (ассоциативный закон сложения)

ab = ba (коммутативный закон умножения)

a (bc) = (ab) c (ассоциативный закон умножения)

a (b + c) = ab + ac (дистрибутивный закон)

Также необходимо было определить правила знаков. Чтобы не нарушался дистрибутивный закон, было создано правило, лежащее в основе умножения отрицательных чисел: (–1)·(–1) = 1, то есть (–a)·b = – (ab) и

(–a)·(–b) = ab. Помимо этого было исключено деление на нуль, так как из верного равенства 0·1 = 0·2 вывели бы неверное следствие 1 = 2.

Таким образом, кольцо целых чисел  позволяет не только производить операции сложения и умножения, но и обратную сложению операцию – вычитание. Однако стоит отметить, что с расширением числовой области кольцо  не стало замкнутым относительно деления.