Статистика. Контрольная работа
.docИзучение формы статистического распределения
Распределение рабочих по стажу работы на предприятии, представленное в табл.1, проверить на соответствие нормальному закону распределения, используя критерии согласия К. Пирсона, В. романовского и А. Колмогорова при уровне значимости =0,05
Таблица 1.
Распределение рабочих по стажу работы на предприятии (лет).
Стаж работы |
0-2 |
2-4 |
4-6 |
6-8 |
8-10 |
10-12 |
12 и более |
Кол-во рабочих |
12 |
14 |
17 |
29 |
23 |
13 |
10 |
1. Определение среднего стажа рабочих и показателей вариации.
X I - {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}
f I = 12 + 14 + 17 + 29 + 23 + 13 + 10 = 118
X = (1 12 +3 14+5 17+7 29+9 23+11 13+13 10) / 118 = 822 / 118 = 6,97
Показатель вариации:
2 =(X I – X) 2 f I / f I = ((1-6,97) 2 12+(3-6,97) 2 14+(5-6,97) 2 17+(7-6,97) 2 29+(9-6,97) 2
23 + (11-6,97) 2 13+(13-6,97) 2 10)/118 = 1384 / 118 = 11,73
= 2 = 11,73 = 3,42
= / X 100 = 3,42 / 6,97 100 = 49
Т.к. >33 , можно сделать вывод о том, что совокупность неоднородная.
Результаты расчётов приведены в табл.2.
Таблица 2.
Определение среднего стажа работы и показатели вариации.
Стаж работы, лет (x)
|
Число рабочих, Чел (f I) |
Середина Интервала, X I |
f I X I |
(X I – X) 2 f I |
0-2 2-4 4-6 6-8 8-10 10-12 12 и более
|
12 14 17 29 23 13 10 |
1 3 5 7 9 11 13 |
12 42 203 85 207 143 130
|
427,69 220,65 65,98 0,03 94,78 211,13 363,61 |
ИТОГО |
118 |
|
822 |
1384 |
2. Построить гистограмму распределения рабочих по стажу работы и определить структурную моду.
X Mo = 6,97
3. Построить кумуляту распределения и определить медиану.
N / 2=118/2=59
4. Определить коэффициент асимметрии.
AS = X - X Mo / = 6,97-7,05 / 3,42 = 0,02
Т.к. 0,02 < 0,025 асимметрия не значительная, носит случайный характер и может быть
отнесена к нормальному закону распределения.
5. Для описания эмпирического распределения используем уравнение нормального распределения.
f(X) = (1 / 2) e-(X-6,97)^2 / 2^2
где X – среднее значение
2 – дисперсия
- среднее квадратичное отклонение
С учётом ранее полученных результатов, конкретное уравнение для рассматриваемого
случая, примет вид : f(X) = (1 / 3,42 2) e-(X-X)^2 / 2 12
6. Проверка адекватности принятого теоретического описания распределения эмпирическим с использованием критериев согласия.
6.1. Критерий согласия ”X2” К. Пирсона.
Для использования этого критерия необходимо определение теоретической частоты для каждого интервала разбиения рабочих по стажу работы.
fit = PI N
где PI - вероятность попадания в интервал
N – общее число рабочих
PI определяется по формуле: PI = 1 / 2 [F (t2) – F (t1)], где t1 = (X I – X) / , а t2 = (X 2 – X) /
X1 и X2 - граничные значения стажа работы в каждом диапазоне
F (t) – интервально нормированная функция Лапласа (значения берутся из таблицы)
0-2: t1 = (0 – 6,97) / 3,42 = -2,04; t2 = (2 – 6,97) / 3,42 = -1,45
2-4: t1 = (2 – 6,97) / 3,42 =-1,45; t2 = (4 – 6,97) / 3,42 = -0,87
4-6: t1 = (4 – 6,97) / 3,42 = -0,87; t2 = (6 – 6,97) / 3,42 = -0,28
6-8: t1 = (6 – 6,97) / 3,42 = -0,28; t2 = (8 – 6,97) / 3,42 = 0,3
8-10: t1 = (8 – 6,97) / 3,42 =0,3; t2 = (10 – 6,97) / 3,42 = 0,89
10-12: t1 = (10 – 6,97) / 3,42 =0,89; t2 = (12 – 6,97) / 3,42 = 1,47
12 и более: t1 = (12 – 6,97) / 3,42 = 1,47.
P1 = 1 / 2 [F (-1,45) – F (-2,04)] = 1 / 2 (-0,8529 + 0,9586) = 0,05
P2 = 1 / 2 [F (-0,87) – F (-1,45)] = 1 / 2 (-0,6157 + 0,8529) = 0,12
P3 = 1 / 2 [F (-0,28) – F (-0,87)] = 1 / 2 (-0,2205 + 0,6157) = 0,2
P4 = 1 / 2 [F (0,3) – F (-0,28)] = 1 / 2 (0,2358+0,2205) = 0,23
P5 = 1 / 2 [F (0,89) – F (0,3)] = 1 / 2 (0,6265 – 0,2358) = 0,2
P6 = 1 / 2 [F (1,47) – F (0,89)] =1 / 2 (0,8584 - 0,6265) = 0,12
P7 = 1 / 2 – 1 / 2 [F (1,47) ] =1 / 2 (1- F (1,47)) = 1 / 2 (1-0,8584) = 0,07
PI = 0,99
Fit = PI N
F1t = 0,05 118 = 5,9
F1t = 0,12 118 = 14,2
F1t = 0,2 118 = 23,6
F1t = 0,23 118 = 27,4
F1t = 0,02 118 = 23,6
F1t = 0,12 118 = 14,2
F1t = 0,07 118 = 8,3
Fit = 117,2
Результаты расчётов приведены в табл.3
Таблица 3.
Расчёт критерия “X2” К. Пирсона
Стаж работы, лет |
Эмпирич. частота, fi |
Вероятность PI |
Теоретич. частота, fit |
Граничные значения, t1 – t2 |
(fI - fit )2 fit |
0-2 2-4 4-6 6-8 8-10 10-12 12 и более |
12 14 17 29 23 13 10 |
0,05 0,12 0,2 0,23 0,2 0,12 0,07 |
5,9 14,2 23,6 27,4 23,6 14,2 8,3 |
-2,04 – (-1,45) -1,45 – (-0,87) -0,87 – (-0,28) -0,28 – 0,3 0,3 – 0,89 0,89 – 1,47 1,47 |
6,3 0,003 1,85 0,09 0,015 0,101 0,35 |
ИТОГО |
118 |
0,99 |
117,2 |
|
8,7 |
Df = 7 – 3 = 4
X2расч = 8,7 , X2табл = 9,49 и X2расч < X2табл
8,7 < 9,49
гипотезу о нормальном характере распределения можно принять.
*- Разница между эмпирическими и теоретическими частотами есть X2
6.2. Используем расчётные значения X2 К. Пирсона, для расчёта критерия согласия В. Романовского.
X2расч - (k – 3) / 2 (k - 3) = (8,7 – 4) / 8 = 1,3
Т.к. 1,3 < 3, то гипотеза о нормальном распределении принимается
6.3. Применение согласия Колмогорова.
Результаты критерия Колмогорова приведены в табл.4.
Таблица 4.
Расчёт критерия согласия Колмогорова
Стаж работы, лет |
Частота |
Накопленная частота |
f I - Fit | |
|
||
Эмпирич. f I |
Теоретич. Fit |
Эмпирич. f I |
Теоретич. Fit |
|||
0-2 2-4 4-6 6-8 8-10 10-12 12 и более |
12 14 17 29 23 13 10 |
5,9 14,2 23,6 27,4 23,6 14,2 8,3 |
12 26 43 72 95 108 118 |
5,9 20,1 43,7 71,1 94,7 108,9 117,2 |
6,1 5,9 0,7 0,9 0,3 0,9 0,8 |
dN = f I - Fit / N = 15,6 / 118 = 0,12
Критерий согласия Колмогорова соотнесём с / N; = 1,36 , при уровне значимости = 0,05.
0,12 < 1,36 / 118 = 0,13
Критерий согласия Колмогорова основан на сопоставлении величины максимальной разницы накопленных теоретических и эмпирических, dnmax < / N, поэтому мы можем сказать, что рассматриваемое распределение следует нормальному закону.