Математическое введение к циклическим кодам. Разложение кольца на классы вычетов по идеалу.
На образующую матрицу накладывается условие цикличности.
Алгебраическая структура – кольцо.
Замена операций над n-разрядными числами на многочлены степени на больше n-1. На множестве всех многочленов не больше n-1 вводится операция сложения (точнее, поразрядного сложения по модулю 2) и умножения.
Множество элементов R образует кольцо, если для каждой пары его элементов заданы операции сложения и умножения и выполняются следующие аксиомы:
-
Множество элементов относительно операции сложения образуют абелеву группу.
-
Замкнутость
-
Для умножения выполняется свойство ассоциативности
-
Если 
- кольцо коммутативно.
Множество элементов F образует поле, если для любой пары его элементов есть операции сложения и умножения и выполняются следующие аксиомы:
-
F – абелева группа
-
Множество ненулевых элементов образует коммутативную группу
1 – единица группы, 
-
Обе операции обладают свойством дистрибутивности
- поле Галуа - множество элементов-остатков
от деления по модулю p
Операция символического умножения
многочленов 
- остаток от деления этого произведения
на многочлен степени n,
то есть
образует коммутативное кольцо
|
Множество многочленов по модулю 2
называется полем 
тогда, когда P(x)
неприводим (нацело делится только сам
на себя и на 1) и его степень 
Например, если 
– множество по модулю этого неприводимого
многочлена.
Среди коммутативного кольца многочленов
степени не выше n-1 выделим
такое подмножество многочленов, которое
нацело делится на образующий многочлен:
.
Это – идеал в коммутативном кольце.
Если 
идеал
пуст, 
и. совпадает с коммутативным кольцом
(Идеал = R). Если 
Циклический код – идеал в коммутативном кольце по образующему многочлену степени n-k
ЦК описывается образующей матрицей, которая строится путём циклического сдвига на 1 разряд, и строки её есть
Требования к g(x)
-
Неприводим
-
-
Не является делителем
(примитивен)