Заняття 3. Тема: Кільця та поля.

Аудиторні завдання.

1. З‘ясувати, які з наступних числових множин є кільцями (але не полями) та які полями відносно арифметичних операцій додавання та множення:

а) цілі числа, що кратні даному числу а;

б) числа вигляду , де a, bQ;

в) числа вигляду , де a, bQ;

г) числа вигляду , де – дійсне значення кореня і a₀, a₁, a₂Z.

2. З‘ясувати, які з наступних множин є кільцями (але не полями) і які полями відносно додавання та множення матриць:

а) матриці n–ого порядку з цілими елементами;

б) матриці вигляду з раціональними а і b;

в) матриці вигляду з раціональними а і b.

3. Показати, що в кільці квадратних матриць n–oго порядку з дійсними елементами, дільниками нуля є вироджені і тільки вироджені матриці.

4. Показати, що пари (а, b) цілих чисел з операціями, заданими рівностями

(a₁, b₁) + (a₂, b₂) = (a₁ + a₂, b₁ + b₂),

(a₁, b₁)  (a₂, b₂) = (a₁  a₂, b₁  b₂).

утворюють комутативне кільце. Знайти усі дільники нуля цього кільця.

5. Показати, що пари (а, b) раціональних чисел з операціями, заданими рівностями

(a₁, b₁) + (a₂, b₂) = (a₁ + a₂, b₁ + b₂),

(a₁, b₁)  (a₂, b₂) = (a₁a₂ + b₁b₂, a₁b₂ + b₁a₂).

утворюють комутативне кільце. Знайти усі дільники нуля цього кільця.

6. Показати, що множина матриць вигляду , де a, bZ, ізоморфна полю, утвореному числами вигляду .

7. Показати, що множина матриць вигляду , де a, bR, ізоморфна полю комплексних чисел.

8. Показати, що множина матриць вигляду , де a, bZ, утворює комутативне кільце (відносно додавання та множення матриць), але це кільце не може бути ізоморфним з жодною числовою множиною з операціями – арифметичне додавання та множення.

Вказівки:

1. При розв’язуванні задач 4 і 5 слід знайти ненульові розв'язки рівняння (a, b)(x, y) = (0, 0).

2. При розв’язуванні задачі 8 скористуйтеся тим, що задана множина матриць утворює кільце з дільниками нуля.

Домашні завдання.

[10] cтор. 63 № 2.1.3: № 1 (a₁, a₂, a₃, a₄), № 2 (b₁, b₂); 4, 5.

Заняття 4. Тема: Ідеали кільця. Фактор-кільце. Прості та складені елементи області цілісності. Евклідові кільця.

Аудиторні завдання.

1. Показати, що множина , де , К; – кільце,

а) є підкільце в кільці К;

б) є власний ідеал кільця К.

2. Чи є ідеалами такі підмножини:

а) множина в кільці М(2, Z), якщо m, nZ;

б) множина в кільці ;

в) множина в кільці М(2, Z);

г) множина в кільці М(3, Z).

3. Побудувати фактор-кільце кільця цілих чисел Z за головним ідеалом I=<6>, породженим числом 6. скласти таблиці додавання і множення для елементів фактор-кільця. Знайти всі дільники нуля цього фактор-кільця і обернені елементи.

4. Довести, що характеристикою області цілісності є або нуль, або просте число.

5. Простим чи складеним є ціле гауссове число 3+2і.

6. Довести, що число 4 в кільці неоднозначно розкладається в добуток простих множників.

7. Встановити гомоморфне відображення довільного кільця К на фактор-кільце кільця К за будь-яким його ідеалом І.

8. Довести, що ізоморфними між собою є такі кільця:

а) i ;

б) i ;

в) i .

9. Довести, що в кільці простими є такі елементи: а) 2; б) –2; в) ; г) .

10. Довести, що дані кільця є евклідовим:

а) кільце з нормою ;

б) кільце з нормою .

Вказівки:

1. При розв’язуванні задачі 3 скористатися означенням фактор-кільця для елементів якого введено операції додавання та множення:

Тоді

2. При розв’язанні задачі 5 розглянути кільце Z[i], дільниками одиниці в якому є числа 1, –1, і, –і, та скористатися нормою цілого гауссового числа.

3. При розв’язанні задачі 6 знайти спочатку дільники одиниці в , а потім довести, що для числа 4 в кільці є два різні розклади в добуток простих множників.

4. В задачі 4 задати відображення множини К на множину так: , тобто , де aK.

5. В задачі 9 скористатися означенням простого або нерозкладного, незвідного елемента: елемент а області цілісності К називається простим, якщо:

а) a0;

б) a не є дільником одиниці;

в) а, крім дільників одиниці і асоційованих з ним, ніяких інших дільників не має.

Домашні завдання.

[10] cтор. 66 № 2 (в₂, в₃, в₄, в₅, в₇, в₈);

стор. 85, № 2.2.3, № 1 (а–д), 5.