Деякі задачі, що не розв’язуються в квадратних радикалах.

1. Задача про подвоєння куба. Побудувати ребро куба, об’єм якого вдвічі більше за об’єм даного куба.

2. Задача про трисекцію кута. Поділити даний кут на три рівні частини.

3. Задача про побудову правильного семикутника. Побудувати правильний семикутник, вписаний в одиничний круг.

4. Задача про квадратуру круга. Побудувати квадрат, рівновеликий даному кругу.

Розв’язання цих задач зводиться до рівняння, що не розв’язуються в квадратних радикалах. Тому вони не можуть бути побудованими за допомогою циркуля і лінійки .

Отже, розв’язання конструктивної задачі за допомогою циркуля і лінійки і розв’язність алгебраїчного рівняння в квадратних радикалах – це два аспекти однієї і тієї ж проблеми.

Контрольні питання для самоперевірки.

1. Дайте означення квадратичного розширення поля Р.

2. Доведіть, що розширення К поля Р другого степеня є квадратичне розширення поля Р.

3. Які числа називаються піфагоровими?

4. Дайте означення основного поля.

5. Дайте означення розв’язності рівняння в квадратних радикалах.

6. Доведіть, що всі числа, які можна виразити в квадратних радикалах через числа поля Р, є алгебраїчними над цим полем.

7. Сформулюйте критерії розв’язності в квадратних радикалах.

8. Доведіть, що задачу про трисекцію нуля не можна побудували циркулем та лінійкою.

9. Доведіть, що задачу про побудову правильного n-кутника не можна побудували циркулем та лінійкою.

10. Доведіть, що рівняння ; розв’язуються в квадратних радикалах.

11. Покажіть, що рівняння не розв’язується в квадратних радикалах ні над жодним полем.

Література: [4] гл.8, §35 [3], гл.17 §4.

Плани-конспекти практичних занять

Семестр ІV

Заняття 1.

Тема: Групи. Підгрупи. Розклад групи за підгрупою. Теорема Лагранжа.

Аудиторні завдання.

1. а) Перевірити, чи утворюють наступні множини групу відносно вказаних операцій.

б) Встановити, які з груп абелеві, циклічні.

в) Побудувати таблиці Келі для операцій, визначених на заданих множинах:

G₁ = < –1, і, –і > (), де i² = –1;

G₂ = < 1, –1, і, j, k, – і, –j, – k > (), i² = j ² = k ² = –1; ij=k; ik=–j; jk=i; ji=–k; ki=j; kj=–i;

G₅ = < z=a+bi; a,bR, i² = –1> (+);

G₆ = < z=a+bi; a,bR, z0, i² = –1> ().

2. Знайти усі підгрупи групи G₂.

3. Довести, що група простого порядку р циклічна.

4. Розкласти групу G₅ на суміжні класи за підгрупою A=<z=cos+isin> та дати їх геометричну ілюстрацію.

5. Довести, що група G порядку р² (р – просте число) – абелева.

Домашні завдання.

[10] cтор. 14 № 1.1.3: № 1 (а–к),

стор. 30 № 1.2.3, № 1, 3, 9, 10, 12 (а, б, і).

Заняття 2. Тема: Нормальний дільник. Фактор-група. Спряжені елементи та класи спряжених елементів. Гомоморфізми груп.

Аудиторні завдання.

1. Дати опис усіх не ізоморфних груп 6-го та 8-го порядку.

2. Показати, що усі підгрупи групи кватерніонів – її нормальні дільники.

3. Нехай G – мультиплікативна група комплексних чисел з модулем, рівним одиниці: G=<z=cos+isin, |z|=1> і Н – її підгрупа – коренів n–го степеня з одиниці: . Показати, що фактор-група G/H ізоморфна групі G.

4. Для мультиплікативної групи дійсних матриць порядку n довести твердження:

а) фактор-група групи дійсних матриць за підгрупою матриць з визначником, рівним одиниці, ізоморфна мультиплікативній групі дійсних чисел, відмінних від нуля;

б) фактор-група групи дійсних матриць за підгрупою матриць з додатними визначниками є циклічною групою другого порядку.

5. Знайти розклад групи S₃ та групи кватерніонів на класи спряжених елементів.

Домашні завдання.

[10] cтор. 30 № 1.2.3: № 12 (в, г, д, з, і), № 13, № 14.