Міністерство освіти і науки України
Херсонський державний університет
С.Колеснік
Вища алгебра
(методичний посібник)
Херсон – 2003
Обговорено на засіданні кафедри вищої математики (протокол № 2 від 27.01.2003 року).
Схвалено навчально-методичною радою університету (протокол № 2 від 12.02.2003 року).
Рекомендовано до видання Вченою радою Херсонського державного університету (протокол № 4 від 03.03.2003 року).
Укладач: Колеснік С.Г. — доцент ХДУ
Рецензенти: Мельник І.І. — кандидат фізико-математичних наук, доцент ХДУ
Берман В.П. — кандидат педагогічних наук, доцент ХДУ
Колеснік С.Г. Вища алгебра: Методичний посібник.
Херсон: Айлант, 2003р. с.
ISBN
Методичний посібник призначений для студентів фізико-математичних спеціальностей денної, заочної та екстернатної форм навчання, вчителів та учнів ліцеїв та шкіл з поглибленим вивченням математики.
ISBN Колеснік С.Г. 2003-03-13
ХДУ, 2003
Зміст
Програма з курсу “Вища алгебра“ 5
Пояснювальна записка 5
Розподіл матеріалу. 6
Тематичний план. 6
Методичні вказівки 9
Плани-конспекти лекцій з курсу "Вища алгебра" 13
Лекція 1. 13
Тема: Групи. 13
Лекція 2. 16
Тема: Розклад групи за підгрупою. 16
Лекція 3. 19
Тема: Відношення спряженості в групах. 19
Лекція 4. 22
Тема: Гомоморфізми груп. 22
Лекція 5. 24
Тема: Кільця. 24
Лекція 6. 28
Тема: Підкільце. Ідеали кільця. 28
Лекція 7. 32
Тема: Гомоморфізми кілець. Евклідові кільця. 32
Лекція 8. 35
Тема: Поле. 35
Лекція 9. 38
Тема: Многочлени від однієї змінної. 38
Лекція 10. 41
Тема: Корені многочлена. 41
Лекція 11. 44
Тема: Існування коренів многочлена. Поле розкладу. 44
Лекція 12. 46
Тема: Многочлен від n змінних. 46
Лекція 13. 49
Тема: Результант многочленів. 49
Лекція 14. 52
Тема: Позбавлення від алгебраїчної ірраціональності в знаменнику дробу. 52
Лекція 15. 54
Тема: Многочлени над числовими полями. 54
Лекція 16. 57
Тема: Відокремлення дійсних коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами. 57
Лекція 17. 60
Тема: Многочлен над полем раціональних чисел. 60
Лекція 18. 62
Тема: Алгебраїчні числа. Розширення полів. 62
Лекція 19. 65
Тема: Розв’язування рівнянь в квадратних радикалах. 65
Плани-конспекти практичних занять 69
Семестр ІV 69
Заняття 1. 69
Тема: Групи. Підгрупи. Розклад групи за підгрупою. Теорема Лагранжа. 69
Заняття 2. 70
Тема: Нормальний дільник. Фактор-група. Спряжені елементи та класи спряжених елементів. Гомоморфізми груп. 70
Заняття 3. 70
Тема: Кільця та поля. 70
Заняття 4. 72
Тема: Ідеали кільця. Фактор-кільце. Прості та складені елементи області цілісності. Евклідові кільця. 72
Заняття 5. 74
Тема: Кільце многочленів від однієї змінної над даним полем. 74
Заняття 6. 75
Тема: Корені многочлена. 75
Заняття 7. 76
Тема: Многочлени від n змінних. 76
Заняття 8. 77
Тема: Результант многочленів. Позбавлення від ірраціональності в знаменнику дробу. 77
Заняття 9. 78
Тема: Многочлени над числовими полями. Розширення полів. 78
Контрольні роботи 79
Контрольна робота № 1 79
Зразок розв’язання контрольної роботи № 1 81
Варіант 0. 81
Контрольна робота № 2 88
Зразок розв‘язання контрольної роботи № 2 91
Варіант 0. 91
Тоді з рівності 100
Література 102
Програма з курсу “Вища алгебра“ Пояснювальна записка
Вища алгебра, з одного боку, є природним узагальненням основного змісту шкільного курсу елементарної алгебри, а з іншого – є початком великої алгебраїчної науки, дуже розгалуженої та багатої змістом. Тому систематичному вивченню підлягають найбільш важливі типи алгебраїчних систем: групи, кільця і поля.
Теорія полів є природною областю для подальшого розвитку теорії рівнянь. Курс вищої алгебри містить лише елементарний вступ в теорію полів. Більш ширшим, ніж поняття поля, є поняття кільця. Ще більшу область застосування має теорія груп, яка відіграла велику роль у питаннях про розв’язання рівнянь у радикалах, є головною зброєю у теорію полів, у багатьох розділах геометрії, топології, кристалографії, теоретичної фізики. По широті області прикладань теорія груп займає серед усіх розгалужень алгебри наступне після лінійної алгебри місце.
Друга частина курсу вищої алгебри – алгебра многочленів – присвячена вивченню одного рівняння від одного невідомого, але вже будь-якого степеня. Центральним в алгебрі многочленів є питання не про практичне знаходження коренів рівняння, а питання про їх існування, відповідь на яке дає дуже важлива теорема, яка стверджує, що будь-яке рівняння з довільними числовими коефіцієнтами, не тільки дійсними, але і комплексними, має комплексні (зокрема дійсні) корені, причому коренів цих стільки, яка степінь рівняння.
Курс вищої алгебри на спеціальності “Інформатика. ПМСО. Математика” передбачає вивчення протягом одного семестру основних алгебраїчних структур сучасної алгебри та алгебри многочленів.
У зв’язку з тим, що теми першої половини курсу носять досить абстрактний характер, доцільно на лекціях кожне нове поняття супроводжувати достатньою кількістю прикладів із вже вивченого матеріалу з аналітичної геометрії та лінійної алгебри, математичного аналізу.
Програмою передбачається проведення двох контрольних робіт.
Розподіл матеріалу.
№ |
Назва розділу |
|
|
розділу |
|
Лекції (год) |
Практика(год) |
1. |
Групи |
8 |
3 |
2. |
Кільця, поля |
8 |
3 |
3. |
Многочлени від однієї змінної |
6 |
4 |
4. |
Многочлени від n змінних |
6 |
3 |
5. |
Многочлени над числовим полем |
6 |
3 |
6. |
Алгебраїчні числа |
4 |
2 |
Тематичний план.
І. Групи.
Групи. Означення та приклади груп. Порядок групи. Порядок елемента групи. Циклічні групи. Твірні елементи. Таблиця Келі.
Підгрупи. Розклад групи за підгрупою. Теорема Лагранжа. Нормальні дільники. Спряжені елементи. Теорема Пуанкаре. Спряжені підгрупи.
Централізатор, нормалізатор елемента групи. Централізатор, нормалізатор підгрупи групи. Класи спряжених елементів. Центр групи. Комутант групи.
Гомоморфізми груп. Ядро гомоморфізмів. Теорема про гомоморфізми груп. Автоморфізми груп. Групи автоморфізмів.
ІІ. Кільця, поля.
Кільце. Означення та приклади кілець. Дільники нуля. Область цілісності. Булеві кільця. Характеристика кільця. Поле. Приклади полів.
Підкільце. Ідеали кільця. Фактор-кільце. Теорема про гомоморфізми кілець.
Кільця головних ідеалів. Найпростіші властивості подільності в комутативному кільці. Прості та складні елементи області цілісності.
Факторіальність кільця головних ідеалів. Евклідові кільця. Теорема про евклідові кільця.
ІІІ. Многочлени від однієї змінної.
Кільце многочленів над областю цілісності. Теорема про ділення з остачею. Теорема Безу. Звідні та незвідні многочлени над полем. Найбільший спільний дільник двох многочленів. Алгоритм Евкліда. НСК многочленів.
Теорема про кратні множники многочлена. Схема Горнера. Корені многочлена. Теорема про спряжені корені многочлена. Відокремлення кратних множників многочлена.
Існування коренів многочлена (теорема Кронекера). Поле розкладу. Формули Вієта.
IV. Многочлени від n змінних.
Побудова кільця многочленів від кількох змінних над областю цілісності. Основні властивості кільця. Степінь многочлена. Вищий член многочлена, вищий член добутку многочленів. Симетричні многочлени. Основна теорема про симетричні многочлени.
Результант многочленів. Виключення невідомих із системи двох рівнянь вищих степенів з двома невідомими за допомогою результанта.
Позбавлення від алгебраїчної ірраціональності в знаменнику дробу.
V. Многочлени над числовими полями.
Алгебраїчна замкненість поля комплексних чисел. Розкладання многочлена над полем дійсних чисел у добуток незвідних множників. Рівняння 3-го і 4-го степенів.
Відокремлення дійсних коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами.
Звідність і незвідність многочленів над полем раціональних чисел, кільцем цілих чисел. Критерій незвідності. Цілі і раціональні корені многочленів з цілими коефіцієнтами.
VІ. Алгебраїчні числа.
Мінімальний многочлен алгебраїчного числа. Будова простого алгебраїчного розширення поля. Скінчене розширення поля, складене алгебраїчне розширення поля. Простість складеного алгебраїчного розширення. Поле алгебраїчних чисел і його алгебраїчна замкненість.
Поняття розв’язування рівнянь в квадратних радикалах. Умови розв‘язності рівнянь 3-го і 4-го степеня в квадратних радикалах. Побудова чисел за допомогою циркуля і лінійки. Класичні задачі.