Основные параметры систем массового обслуживания

Целью построения СМО является анализ характеристик процесса обслуживания для принятия решений по управлению этой системой.

Основные параметры, рассчитываемые в процессе анализа:

λ(t) – интенсивность потока заявок (количество поступивших заявок в единицу времени);

μ(t) – интенсивность обслуживания заявок (количество обслуженных заявок в единицу времени);

φ = λ(t)/μ(t) – коэффициент использования СМО, или коэффициент загрузки системы. Отражает степень насыщенности системы.

СМО может функционировать в двух режимах.

1. Неустановившийся режим

При φ > 1 установившегося режима не существует, т.е. заявки прибывают, очередь растет неограниченно, так как средний интервал между обслуживаниями отдельных заявок 1/λ(t) больше среднего интервала 1/μ(t) между поступающими заявками.

При φ < 1 поток также не устанавливается, но в этом случае 1/λ(t) меньше 1/μ(t), т.е. очередь убывает, что может привести к окончанию потока заявок и к простою каналов обслуживания.

2. Установившийся режим

Поток устанавливается при φ = 1. При установившемся режиме очередь постоянна. Установившийся режим не зависит от начальных условий.

Наилучшим примером решения задач по моделям систем массового обслуживания является создание вычислительных систем, управляемых операционными системами строго в соответствии с детерминированными законами очереди и обслуживания заданий (решаемых задач).

Наибольшей сложностью моделей характеризуются многопроцессорные комплексы или сети вычислительных систем. Хуже всего реализуется организация социально-экономических систем из-за сложности формализации законов их функционирования.

Определение вероятности системы

Под вероятностью системы понимается отношение числа совершившихся событий к общему числу возможных событий:

P = n_cc/n,

где n_сс – число совершившихся событий; n – общее число событий.

Вероятность поступления заявок в очередь в момент времени t определяется по формуле

Р_вх(t) = λ(t) dt.

Вероятность обслуживания заявок в очереди, в момент времени t определяется по формуле

Р_вых(t) = μ(t) dt.

Рассмотрим ряд состояний, в которых может находиться система массового обслуживания:

Состояние Е₀

1. Заявок нет.

Состояние Е₁

2. Одна заявка обслуживается.

Состояние Е₂.

3. Одна заявка обслуживается и одна стоит в очереди.

Состояние Е_n

4. Одна заявка обслуживается и n–1 заявок стоит в очереди

(V = n-1).

Средняя стоимость обслуживания в СМО в единицу времени:

Y = VC₁ + ρ C₂ ,

где C₁ – стоимость ожидания одной заявки в единицу времени; V – среднее число заявок в очереди; C₂ – стоимость работы канала обслуживания в единицу времени; ρ – среднее число каналов обслуживания.

Для определения дифференциальных уравнений состояний системы массового обслуживания обозначим через J стохастическую матрицу (матрицу переходов системы из одного состояния в другое), а через Р стохастический вектор. Вероятность обозначается Р_n1n, где n₁ – предыдущее состояние системы; n – последующее состояние системы; Р₀₁ = λdt обозначает вероятность возникновения в системе одной заявки.

Переходы системы из одного состояния в другое можно описать следующими уравнениями:

Изменение состояния:	Вероятность перехода:
Е0 → Е1	Р01 = λ(t)dt, n=1
Е0 → Е0	Р00 = 1 – λ(t)dt
Е0 → Е2	Р02 = 0
Е0 → Еn	Р0n = 0, n ≥ 2
Е1 → Е0	Р10 = μ(t)dt
Е1 → Е2	Р12 = λ(t)dt
Е1 → Е1	Р11 = 1 – (λ(t) + μ(t))dt

В общем виде это можно выразить следующей системой уравнений:

Р 00 = 1 – λ(t)dt

Рi, i+1 = λ(t)dt

Рi, i = 1 – (λ(t) + μ(t))dt

Рi–1,i = μ(t)dt

Составим стохастическую матрицу переходов из одного состояния в другое

Сумма элементов стохастической матрицы в одной строке равна единице:

Р_i0 + Р_i1 + Р_i2 + . . . Р_in = μ(t)dt + [1–(λ(t)+μ(t))dt] + λ(t)dt = 1

Вектор состояния системы отражает вероятность возникновения перехода 0 → n.

Стохастический вектор:

Тогда:

Р(t)/Р(t + dt) = Р(t)*J – рекуррентная функция;

Р(dt) = Р(0)*J – вероятность возникновения состояния через промежуток времени dt.

В общем виде это можно выразить следующей системой уравнений:

Р ₀(t+dt) = (1 – λ(t)dt) Р₀(t) + μ(t)dt Р₁(t)

Р₁(t+dt) = λ(t)dt Р₀(t) + [1 – (μ(t) + λ(t))dt] Р₁(t) + μ(t)dt Р₂(t)

Р_i(t+dt) = λ(t)dt Р_i-1(t) + [1 – (μ(t) + λ(t))dt] Р_i(t) + μ(t)dt Р_i+1(t)

при i ≥ 1.

Данные соотношения можно пояснить так. Событие Е_n в момент t+dt может быть реализовано одним из трех способов:

1. в момент t в системе была (n – 1) заявка, а в интервале dt поступила одна заявка;

2. в момент t в системе было n заявок, а за время dt ни одна заявка не поступила и обслуживание очередной заявки не окончилось;

3. в момент t в системе была (n + 1) заявка, а за время dt одна из заявок была обслужена.

Произведя соответствующие преобразования, получим:

при i ≥ 1.

Таким образом, система уравнений состояний системы массового обслуживания имеет вид:

Р ₀(t) = – λ(t)Р₀(t) + μ(t) Р₁(t)

Р_i(t) = λ(t) Р_i-1 (t) – (λ(t) + μ(t)) Р_i (t) + μ(t) Р_i+1(t).