Модели систем массового обсуживания
В производственной деятельности часто возникают такие ситуации, когда появляется необходимость в обслуживании требований или заявок, поступающих в систему. Иногда системы обслуживания обладают ограниченными возможностями для удовлетворения спроса, и это приводит к образованию очереди. Примерами подобных явлений могут быть очереди в инструментально-раздаточных кладовых, архивах технической документации, на складах, в том числе и автоматизированных, погрузочно-разгрузочных площадках, на резервных позициях гибких производственных систем и т.д.
Задачей теории массового обслуживания (СМО) является анализ явлений, которые возникают в системах обслуживания для определения характеристик системы, обеспечивающих заданное качество функционирования, например минимум времени ожидания, минимум средней длины очереди и т.д.
В СМО подразумевается, что есть типовые пути (каналы обслуживания), через которые в процессе обработки проходят заявки. Принято говорить, что заявки обслуживаются каналами. Каналы могут быть разными по назначению, характеристикам, они могут сочетаться в разных комбинациях; заявки могут находиться в очередях и ожидать обслуживания. Часть заявок может быть обслужена каналами, а части могут отказать в этом. Важно, что заявки, с точки зрения системы, абстрактны: это то, что желает обслужиться, то есть пройти определенный путь в системе. Каналы являются также абстракцией: это то, что обслуживает заявки.
Заявки могут приходить неравномерно, каналы могут обслуживать разные заявки за разное время и так далее, количество заявок всегда весьма велико. Все это делает такие системы сложными для изучения и управления, и проследить все причинно-следственные связи в них не представляется возможным. Поэтому принято представление о том, что обслуживание в сложных системах носит случайный характер.
Количество требований на обслуживание, временные интервалы между их поступлениями и длительность обслуживания – случайные величины. Поэтому основным аппаратом систем массового обслуживания является аппарат теории случайных процессов.
Существует единый подход к изучению СМО. Он состоит в том, что, во-первых, с помощью генератора случайных чисел имитируют случайные моменты появления заявок и время их обслуживания в каналах. Но в совокупности эти случайные числа, конечно, подчинены статистическим закономерностям.
Например, если сказано, что «заявки в среднем приходят в количестве 5 штук в час», это означает, что времена между приходом двух соседних заявок случайны (например: 0,1; 0,3; 0,1; 0,4; 0.2)
1
2
3
4
5
← Номер заявки
0,1 0,3 0,1 0,4 0,2 ←Время между заявками
0 0,1 0,4 0,5 0,9 1,1 Время
В сумме эти времена дают в среднем 1 (в примере это не точно 1, а 1.1 – но в другой час эта сумма может быть равной 0,9; и только за достаточно большое время среднее этих чисел станет близким к одному часу).
Результат (например, пропускная способность системы) тоже будет случайной величиной на отдельных промежутках времени. Но измеренная на большом промежутке времени, эта величина будет уже, в среднем, соответствовать точному решению. То есть для характеристики СМО интересуются ответами в статистическом смысле.
Таким образом, систему испытывают случайными входными сигналами, подчиненными заданному статистическому закону, а в качестве результата принимают статистические показатели, усредненные по времени рассмотрения или по количеству опытов.
Во-вторых, все модели СМО собираются типовым образом из небольшого набора элементов (канал, источник заявок, очередь, заявка, дисциплина обслуживания, стек, кольцо и так далее), что позволяет имитировать эти задачи типовым образом. Для этого модель системы собирают из конструктора таких элементов. Неважно, какая конкретно система изучается, важно, что схема системы собирается из одних и тех же элементов. Разумеется, структура схемы будет всегда различной.
Структура систем массового обслуживания
Структура СМО определяется составом элементов и функциональными связями.
Основные элементы СМО
входной поток заявок;
очередь заявок (требований);
каналы обслуживания;
выходной поток заявок.
В простейшем случае типовая система массового обслуживания может быть представлена в виде условной схемы
Входной Блок Выходной
поток очереди поток
Источник Канал
заявок
обслуживания
Формирование
входного СМО
потока
Заявки, они же требования или клиенты, входят в систему (порождаются источниками заявок), проходят через ее элементы (обслуживаются), покидают ее обслуженными или неудовлетворенными. Бывают нетерпеливые заявки – такие, которым надоело ожидать или находиться в системе и которые покидают по собственной воле СМО. Заявки на схеме условно представлены прямоугольниками.
Источник заявок порождает заявки в случайные моменты времени, согласно заданному пользователем статистическому закону.
Заявки образуют потоки — поток заявок на входе системы, поток обслуженных заявок, поток отказанных заявок. Поток характеризуется количеством заявок определенного сорта, наблюдаемым в некотором месте СМО за единицу времени (час, сутки, месяц), то есть поток есть величина статистическая.
Заявки образуют потоки — поток заявок на входе системы, поток обслуженных заявок, поток отказанных заявок. Поток характеризуется количеством заявок определенного сорта, наблюдаемым в некотором месте СМО за единицу времени (час, сутки, месяц), то есть поток есть величина статистическая.
Потоки заявок обладают свойствами:
однородности, если:
– все заявки равноправны,
– рассматриваются только моменты времени поступления заявок, т.е. факты заявок без уточнения деталей каждой конкретной заявки.
стационарности, которое выражает неизменность вероятностного режима потока по времени, т.е. вероятность появления n событий на некотором интервале времени не зависит от времени, а зависит только от длины этого участка, поэтому число требований, поступающих в систему в равные промежутки времени, в среднем, должно быть постоянным.
отсутствия последействия, которое обуславливает взаимную независимость поступления того или иного числа требований на обслуживание в непересекающиеся промежутки времени. Это значит, что число требований, поступающих в данный отрезок времени, не зависит от числа требований, обслуженных в предыдущем промежутке времени.
ординарности, которое выражает практическую невозможность одновременного поступления двух или более требований.
Однородный стационарный поток без последействий является простейшим, пуассоновским потоком. Число n событий такого потока, выпадающих на интервал x, распределено по закону Пуассона:
Р(n, x) =[(λx)ne–λx]/n!
Пуассоновский поток заявок удобен при решении задач теории массового обслуживания. Строго говоря простейшие потоки редки на практике, однако многие моделируемые потоки допустимо рассматривать как простейшие.
Мгновенная плотность (интенсивность) потока равна пределу отношения среднего числа событий, приходящихся на элементарный интервал времени (t, t + x) к длине интервала (x), когда последний стремится к нулю.
λ(t)
=
или, для простейшего потока λ= M(x)/x,
где M(x) равно математическому ожиданию числа событий на интервале x.
Среднее число заявок в системе равно произведению интенсивности входного потока на среднее время пребывания заявки в системе подсчитывают по формуле Литтла:
N* = λT
Входной поток заявок – это временнáя последовательность событий на входе в СМО. Интервалы между заявками входного потока в общем случае не одинаковы: они представляют собой случайные величины и определяются вероятностными законами входного потока, в соответствии с которыми вращается условная «вертушка», поставляющая заявки во входной поток.
В состав СМО входят два блока: блок очереди и канал обслуживания.
Заявки поступают на вход блока очереди.
Очереди характеризуются:
дисциплиной обслуживания, т.е. правилами стояния в очереди;
количеством мест в очереди, т.е. максимальным числом клиентов, которые могут находиться в очереди (бывают ограниченные и неограниченные очереди);
структурой очереди, т.е. связью между местами в очереди.
Существуют три важнейшие дисциплины обслуживания:
FIFO (First In, First Out — первым пришел, первым ушел): если заявка первой пришла в очередь, то она первой уйдет на обслуживание;
LIFO (Last In, First Out — последним пришел, первым ушел): если заявка последней пришла в очередь, то она первой уйдет на обслуживание;
SF (Short Forward — короткие вперед): в первую очередь обслуживаются те заявки из очереди, которые имеют меньшее время обслуживания.
Правильный выбор той или иной дисциплины обслуживания позволяет получить ощутимую экономию во времени.
Например, пусть имеется два объекта. На объекте № 1 обслуживание осуществляется в порядке очереди, то есть здесь реализована дисциплина обслуживания FIFO.
Клиенты 1 2 3 4 5
Время обслуживания 2 мин –– 2 мин –– 2 мин –– 2 мин –– 0,5 мин
Время ожидания 0 мин → 2 мин → 4 мин → 6 мин → 8 мин
Среднее время ожидания (0 + 2 + 4 + 6 + 8)/5 = 4 мин.
На объекте № 2 реализована дисциплина SF, означающая, что заявки, имеющие меньшее время обслуживания, выполняются в первую очередь.
Клиенты 1 2 3 4 5
Время обслуживания 0,5 мин –– 2 мин –– 2 мин –– 2 мин –– 2 мин
Время ожидания 0 мин → 0,5 мин → 2,5 мин → 4,5 мин → 6,5 мин
Среднее время ожидания (0 + 0,5 + 2,5 + 4,5 + 6,5)/5 = 2,8 мин.
Таким образом, среднее время обслуживания каждого из клиентов на объекте с дисциплиной обслуживания FIFO составит 4 минуты, а на объекте с дисциплиной обслуживания SF – лишь 2,8 минуты. Экономия времени составит: (1–2,8/4) · 100% = 30 %!
Канал обслуживания (условно изображенный вертушкой) осуществляет обслуживание каждой поступившей на его вход заявки в соответствии с заданным детерминированным или случайным законом обслуживания. Таким образом, канал обслуживания согласно своему закону осуществляет задержку во времени каждого поступившего на вход события и формирует выходной поток заявок СМО.
Каналы бывают горячие (начинают обслуживать заявку в момент ее поступления в канал) и холодные (каналу для начала обслуживания требуется время на подготовку).
Обслуженная заявка с некоторой задержкой относительно поступившей на вход канала заявки поступает в выходной поток, который отличается от входного потока в зависимости от законов дисциплины очереди и обслуживания.
Для модели СМО характерно, что все явления описываются с помощью событий, которые появляются в тот или иной момент времени (на временной оси).
Классификация систем массового обслуживания
В зависимости от наличия возможности ожидания поступающими требованиями начала обслуживания СМО подразделяются на:
системы с потерями, в которых требования, не нашедшие в момент поступления ни одного свободного прибора, теряются;
системы с ожиданием, в которых имеется накопитель бесконечной ёмкости для буферизации поступивших требований, при этом ожидающие требования образуют очередь;
СМО с ожиданием распространены наиболее широко. Их можно разбить на две большие группы – разомкнутые и замкнутые. К замкнутым относятся системы, в которых поступающий поток требований ограничен. Например, мастер, задачей которого является наладка станков в цехе, должен периодически их обслуживать. Каждый налаженный станок становится в будущем потенциальным источником требований на подналадку. В подобных системах общее число циркулирующих требований конечно и чаще всего постоянно. Если питающий источник обладает бесконечным числом требований, то система называется разомкнутой. Примерами подобных систем могут служить инструментальные склады, кассы вокзалов и др.
системы с накопителем конечной ёмкости (ожиданием и ограничениями), в которых длина очереди не может превышать ёмкости накопителя; при этом требование, поступающее в переполненную СМО (отсутствуют свободные места для ожидания), теряется.
По составу СМО бывают:
одноканальные – с одним обслуживающим устройством;
многоканальные – с большим числом обслуживающих устройств. Многоканальные системы могут состоять из обслуживающих устройств как одинаковой, так и и разной производительности.