28.. Вероятностные оценки ширины распределения. Предельная и квантильная оценка

2-2. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ОЦЕНКИ ШИРИНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Для оценки величины разброса случайных погрешностей отно­сительно центра, т. е. ширины распределения, на практике исполь­зуются различные приемы, приводящие к существенно разным

1 ^"2 3 ^4 *^F ^*S ^7

Рис. 2-3

результатам. Поэтому целесообразно сопоставить эти приемы и уяснить себе их особенности.

«Предельная», или «максимальная», оценка случайной по­грешности. Она теоретически правомерна только для ограничен­ных распределений (равномерного, трапецеидального, треуголь­ного, арксинусоидального и т. п.). Для этих распределений (рис. 2-1, е—з и 2-2, а, в) действительно существует такое значе­ние rbX_m, которое ограничивает с обеих сторон возможные значения случайной величины. Однако эти распределения яв­ляются лишь теоретической идеализацией и реальные распреде­ления погрешностей, строго говоря, им никогда не соответствуют. Кривые плотности реальных распределений погрешностей (рис. 2-2, б, г и 2-3, б, г), за редкими исключениями, не имеют четко выраженных границ. И поэтому указание, для них «пре­дельных», или «максимальных», значений неправомерно. На прак­тике такая оценка есть указание наибольшего по модулю откло­нения, встретившегося в данном, произвольно ограниченном ряду наблюдений, так как с увеличением объема выборки эксперимен­тальных данных «предельные» значения монотонно возрастают. Предельная погрешность прибора, найденная экспериментально по 100 отсчетам, всегда будет большей, чем найденная по первым 10 отсчетам.

Главным недостатком такой оценки является бессмысленность арифметического суммирования таких «предельных» значений, так как получаемая сумма может превышать действительные погреш­ности в несколько раз (см. конец § 3-5).

Квантильньш оценки случайной погрешности, Площадь, за­ключенная под кривой плотности распределения (рис. 2-3), со­гласно правилу нормирования, равна единице, т. е. отражает вероятность всех возможных событий. Эту площадь можно раз­делить на некоторые части вертикальными линиями. Абсциссы таких линий называют квантилями. Так, х — Ху на рис. 2-3, а есть 25%-ная квантиль, так как площадь под кривой р (х) слева от нее составляет 25% всей площади, а справа — 75%. Между х_х и я₃, т. е. 25%- и 75%-ной квантилями, которые принято назы­вать сгибами (или квартилями) данного распределения, заключено 50% всех возможных значений погрешности, а остальные 50% лежат вне этого промежутка.

29.. Достоверность определения доверительного значения погрешности по экспериментальным данным

Достоверность определения доверительного значения погреш­ности по экспериментальным данным. Достоинство доверительного значения погрешности состоит в том, что оно может быть доста­точно просто оценено прямо по экспериментальным данным. Пусть проведена серия из п измерений. Из наблюдавшихся п случайных погрешностей составляют вариационный ряд, располагая их в порядке возрастания: Д^ -< А(3) ■< Д₍з> ■<•••■< А<п>. Далее используется предположение, что каждый из членов вариацион­ного ряда является оценкой соответствующих квантилей, которые делят весь интервал возможных вероятностей (от 0 до 1) на п + 4- 1 частей с равными значениями вероятности, иными словами, вероятности попадания значений погрешности w каждый из ин­тервалов (--со, А₍1,), (Д₍₁₎, Д₍₂₎), .... (A_(n__J)9 Д_{„>) и (Д_(п), +оо) предполагаются одинаковыми, а следовательно, равными 1/(п + 1). Отсюда каждое из наблюдавшихся значений Д<о может быть принято как оценка 11/(п + 1)1-100%-ной квантили.

Таким образом, практическое определение Д_д сводится к. тому, что из всех полученных отсчетов отбрасываются наиболее уда­ленные от центра, а следовательно, самые ненадежные отсчеты. Если при переменном п отбрасывается постоянная относительная доля всех отсчетов, то определяемое по крайним членам оставше­гося вариационного ряда значение Д_д, в отличие от Д_т, с ростом длины п серии отсчетов не возрастает, а стабилизируется и ока­зывается тем более устойчивым, чем больше объем выборки п, не уступая по простоте своего определения «максимальному» значению Д_т.

При этом следует иметь в виду, что по ограниченным экспери­ментальным данным мы получаем не точные доверительные зна­чения, а лишь их приближенные значения — оценки. Достовер­ность квантильных оценок резко повышается с понижением зна­чений Р_д, а при постоянном Р_д •— с ростом числа отсчетов п. Поэтому квантильные оценки с большими доверительными вероят­ностями могут быть найдены только при большом числе отсчетов. Действительно,, так как вариационный ряд из п членов определяет

границы п + 1 интервалов, вероятность попаданий в которые принимается нами одинаковой, то при отбрасывании лишь ин­тервалов (оо, A₍i)) и (А(п), +оо) оценка погрешности может быть определена с доверительной вероятностью, не большей, чем

Р_д < (п - 1)/(п + Ц.