23.. Изменение погрешности си во время их эксплуатации.

1-6. ИЗМЕНЕНИЕ ПОГРЕШНОСТИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ ВО ВРЕМЯ ИХ ЭКСПЛУАТАЦИИ

Как бы тщательно ни был изготовлен и отрегулирован прибор к моменту выпуска его на приборостроительном заводе, с течением времени в элементах схемы и механизме неизбежно протекают разнообразные процессы старения и погрешность его неуклонно возрастает. Поэтому нормирование гарантированных в паспорте СИ пределов допускаемой погрешности производится заводом-изготовителем с 1,25—2,5-кратным запасом на старение. Такое превышение пределов допускаемой погрешности над фактиче­ским значением погрешности СИ в момент их выпуска с произ­водства или из ремонта является по существу единственным прак­тическим способом обеспечения долговременной метрологической стабильности средств измерений.

Это обстоятельство должно быть четко известно потребителю средств измерений, так как его приходится принимать во внима­ние при решении многих вопросов организации процессов изме­рений, поддержания СИ в работоспособном состоянии, оценки допускаемых при измерении погрешностей и т. д.

Изменение погрешности с возрастом t прибора, наблюдаемое при последующих ежегодных поверках, происходит в виде про­грессирующего смещения и поворота полосы погрешностей, т. е. в виде непрерывного возрастания систематической составляющей погрешности прибора, в то время как размер случайной состав­ляющей определяется шириной полосы погрешностей и остается практически неизменным.

24.. Методы вероятностного описания погрешностей средств и результатов измерений

МЕТОДЫ ВЕРОЯТНОСТНОГО ОПИСАНИЯ

ПОГРЕШНОСТЕЙ СРЕДСТВ

И РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

*

2-1, НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Для характеристики частоты появления различных значений случайной величины X (в нашем случае погрешности прибора или результата измерения с учетом и ее систематической состав­ляющей) теория вероятностей предлагает пользоваться указанием закона распределения вероятностей различных значений этой величины. При этом различают два вида описания законов рас­пределения: интегральный и дифференциальный.

Интегральным законом, или функцией распределения вероят­ностей F (X) случайной величины X, называют функцию, значе­ние которой для каждого х является вероятностью события, за­ключающегося в том, что случайная величина X принимает зна­чения, меньшие х, т. е. функцию F {х) = Р [X <С х\. Это неубы­вающая функция х, изменяющаяся от F (—оо) = 0 до F (+ оо) = = 1. Она существует для всех случайных величин, как дискрет­ных, так и непрерывных.

Для случайной величины с непрерывной и дифференцируемой функцией распределения F (х) можно найти дифференциальный закон распределения вероятностей, выражаемый как производная от F (х), т. е. как р (х) = F' (х). Эта зависимость называется кривой плотности распределения вероятностей. Она всегда не­отрицательна и подчинена условию нормирования в виде

25.. .Законы распределения случайных величин.

МЕТОДЫ ВЕРОЯТНОСТНОГО ОПИСАНИЯ

ПОГРЕШНОСТЕЙ СРЕДСТВ

И РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

*

2-1, НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Для характеристики частоты появления различных значений случайной величины X (в нашем случае погрешности прибора или результата измерения с учетом и ее систематической состав­ляющей) теория вероятностей предлагает пользоваться указанием закона распределения вероятностей различных значений этой величины. При этом различают два вида описания законов рас­пределения: интегральный и дифференциальный.

Интегральным законом, или функцией распределения вероят­ностей F (X) случайной величины X, называют функцию, значе­ние которой для каждого х является вероятностью события, за­ключающегося в том, что случайная величина X принимает зна­чения, меньшие х, т. е. функцию F {х) = Р [X <С х\. Это неубы­вающая функция х, изменяющаяся от F (—оо) = 0 до F (+ оо) = = 1. Она существует для всех случайных величин, как дискрет­ных, так и непрерывных.

Для случайной величины с непрерывной и дифференцируемой функцией распределения F (х) можно найти дифференциальный закон распределения вероятностей, выражаемый как производная от F (х), т. е. как р (х) = F' (х). Эта зависимость называется кривой плотности распределения вероятностей. Она всегда не­отрицательна и подчинена условию нормирования в виде

26.. Центр распределения случайной величины.

Понятие центра распределения. Координата центра распреде­ления определяет положение случайной величины на числовой оси. Однако дать строгое определение этого понятия далеко не просто. Распределения погрешностей приборов или результа­тов измерений, как правило, являются симметричными. Поэтому применительно к распределениям вероятностей погрешностей центр распределения может быть определен как центр симметрии распределения.

Координата центра распределения может быть определена не­сколькими способами. Наиболее общим, а следовательно, и наиболее фундаментальным является определение центра из принципа симметрии, т. е. как такой точки на оси х, слева и справа от ко­торой вероятности появления различных значений случайной величины равны между собой и составляют Р_г — Р₂ = 0,5. Такое значение х называется медианой. На графике интегрального закона распределения (рис. 2-1, в или д) абсцисса медианы соот­ветствует пересечению кривой уровня F (х) = 0,5.

Координата центра может быть определена и по-иному, а именно как центр тяжести распределения, т. е. такая абсцисса X, относительно которой опрокидывающий момент равен нулю, т. е.

-f-oo

X = J xp (х) dx.

е— ОО

Центр распределения, найденный таким путем, носит название математического ожидания. При дискретных, отсчетах x_t вычис­ление интеграла, определяющего математическое ожидание, заме-

п

няют вычислением среднего арифметического: X = 2 x_t/n.

27.. Моменты распределения.

Дискретный случай

Пусть X есть дискретная случайная величина с возможными значениями x₁, x₂ , … и p_k = P(X = x_k). Число  называется в случае абсолютной сходимости ряда i-м начальным моментом случайной величины X (или ее распределения)(i=1,2,...).

Число

μi =	∑	(xk − ν1)ipk
	k

называется центральным i-м моментом X.

Особое значение имеют первый начальный момент ν₁ и второй центральный момент μ₂.

[редактировать]

Математическое ожидание

Первый начальный момент

ν1 =	∑	xkpk
	k

называется математическим ожиданием X и обозначается МX. Математическое ожидание определяет положение центра распределения в следующем смысле: если считать p_k массами, помещенными в точках x_k действительной оси, то МX есть как раз координата центра тяжести этой системы.

[редактировать]

Свойства математического ожидания

1) математическое ожидание постоянной а равно этой постоянной: Ma = a.

2) математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий

M(X₁ + X₂) = MX₁ + MX₂.

3) математическое ожидание произведения постоянной величины на случайную величину равно произведению постоянной на математическое ожидание случайной величины: M(aX) = aMX.

4) математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:  .

Пример 1: Биномиальное распределение с параметрами n, p:

.

[редактировать]

Дисперсия

Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины Х и обозначается через DX, т.е.

DX =	∑	(xk − MX)2pk = M(X − MX)2
	k

.

Для вычисления дисперсии часто полезна следующая формула: DX = MX² − (MX)².

Корень квадратный из дисперсии называется разбросом или стандартным отклонением, или средним квадратическим отклонением и обозначается через σx:  .

[редактировать]

Свойства дисперсии

1)Дисперсия постоянной величины равна нулю: Da = 0.

2)Дисперсия произведения постоянной величины на случайную величину равна произведению квадрата постоянной величины на дисперсию случайной величины: D(aX) = a²DX.

3)Дисперсия суммы постоянной а и случайной величин равна дисперсии случайной величины: D(a + X) = DX.

4) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X₁ + X₂) = DX₁ + DX₂.

Пример 2 Биномиальное распределение:  .

Лекция