Лекция №2 гидростатика

Гидростатика — раздел механики жидкостей, в котором изу­чаются состояние равновесия жидкости, находящейся в относи­тельном или абсолютном покое, действующие при этом силы, а также закономерности плавания тел без их перемещения.

При абсолютном покое жидкость неподвижна относительно земли и резервуара. При относительном покое отдельные части­цы жидкости, оставаясь в покое относительно друг друга, пере­мещаются вместе с сосудом, в котором они находятся.

Перед изучением состояния равновесия жидкостей необходи­мо выяснить, какие категории сил могут действовать на них, что называется гидростатическим давлением в точке, какими свойст­вами оно обладает и в каких единицах измеряется. Знание зако­нов гидростатики позволяет решать задачи, имеющие важное научное и техническое значение. На законах изменения давле­ния основано действие гидравлического пресса, гидравлического аккумулятора, жидкостного манометра, сифона и многих других гидравлических приборов.

Рассмотрим объем жидкости, находящейся в равновесии (рис. ).

Выделим внутри этой жидкости на глубине h горизон­тальную элементарную площадку DS, параллельную свободной поверхности жидкости.( Свободной называют поверхность находящуюся на границе раздела жидкости и газа.) Спроектировав эту площадку на свобод­ную поверхность жидкости, получим вертикальный параллелепипед, у которого нижнее основание — площадка DS, а верхнее — ее проекция DS', при этом DS = DS'. На площадку DS действует сила гидростатического давления DР, равная произведению массы выделенного столба (параллелепипеда) жидкости на уско­рение свободного падения:

Отношение силы DР к площадке DS, на которую она действу­ет, представляет собой силу, действующую на единицу площади и называется средним гидростатическим давлением или средним напряжением гидростатического давления по площади DS:

Истинное давление Р в различных точках этой площадки DS может быть различным; Рср будет тем меньше отличаться от действительного в точке, чем меньше будет площадь DS. Таким образом, если размер площадки DS уменьшать, приближать к нулю, то отношение DР /DS будет стремиться к некоторому пре­делу, выражающему истинное гидростатическое давление в точке:

Гидростатическое давление Р (Па) измеряют в единицах силы, деленных на единицу площади, оно характеризуется тремя основными свойствами.

Первое свойство. Гидростатическое давление направлено всег­да по внутренней нормали к по­верхности, на которую оно дей­ствует.

Рассмотрим силу гидростатического давления Р, приложен­ную в точке С под углом к поверхности А—В объема жидкости, находящегося в покое (рис. ). Тогда эту силу можно разло­жить на две составляющие: нормальную Рп и касательную Рt к поверхности А—В. Касательная составляющая—это равно­действующая сил трения, приходящихся на выделенную поверх­ность вокруг точки С. Но так как жидкость находится в покое, то силы трения отсутствуют, т. е. Рt =0.

Следовательно, сила гидростатического давления Р в точке С действует лишь в направлении силы Рп, т. е. нормально к по­верхности А—В. Причем направлена она только по внутренней нормали. При предположении направления силы гидростатиче­ского давления по внешней нормали возникнут растягивающие усилия, что приведет жидкость в движение. А это противоречит условию. Таким образом, сила гидростатического давления всег­да сжимающая, т. е. направлена но внутренней нормали.

Второе свойство. Гидростатическое давление в любой точке жидкости действует одинаково по всем направлениям (рис. ).

Для доказательства этого свойства выделим в жидкости, на­ходящейся в равновесии, частицу в форме треугольной призмы с основанием в виде прямоугольного треугольника А—В—С. Заме­ним действие жидкости вне призмы на ее боковые грани (верти­кальную А—В, горизонтальную В—С и наклонную под любым углом а А—С) гидростатическим давлением соответственно рх, pz, ре. Кроме этих сил на призму действует сила тяжести dG, рав­ная весу призмы g*dz*dx/2. Так как частица жидкости находится в равновесии, в покое, то сумма проекций всех сил, приложен­ных к ней, на любое направление равна нулю т.е.

Подставляя dz=de sina и dx=de cosa в предыдущие уравнения, по­лучим

Если теперь грани призмы будут бесконечно уменьшаться и в пределе превратятся в точку, то мы получим гидростатическое давление в одной и той же точке, но в разных направлениях, т.е.

Следовательно, гидростатическое давление на наклонную грань Ре одинаково по величине с гидростатическим давлением на вертикальную и горизонтальную грани. Так как угол наклона грани a взят произвольно, то можно утверждать, что гидростати­ческое давление в любой точке жидкости действует одинаково по всем направлениям.

Третье свойство. Гидростатическое давление в точке зави­сит только от ее координат в пространстве, т. е.

Это свойство не требует специального доказательства, так как очевидно, что по мере увеличения заглубления точки под вровень давление в ней будет возрастать и, наоборот, по мере уменьшения заглубления — уменьшаться.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЖИДКОСТИ. УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА

Рассмотрим какой-либо объем жидкости, находящейся в отно­сительном покое. Выделим внутри этой жидкости бесконечно малый прямоугольный параллелепипед с ребрами Dx,Dy,Dz, па­раллельными осям координат (рис. ), и рассмотрим равновесие действующих на этот параллелепипед внешних сил. Суммарную массовую силу можно найти с помощью второго закона Ньютона:

где т — масса параллелепипеда; а — суммарное ускорение движения под действием массовых сил (в случае дей­ствия сил веса и инерционных сил а = -g± i), g— ускорение свободного падения,i—инерционное ускорение, r — плотность жидкости; V— объем параллелепипеда; Dx,Dy,Dz — длина ребер параллелепипеда

Поверхностная сила давления на каждую грань параллелепи­педа может быть определена как произведение среднего давления на площадь, на которую оно действует.

При этом ограничимся подробным рассмотрением силы, дей­ствующей на одну грань ABCD.

Рассмотрим, например, уравнение проекций на ось х:

где Рх — среднее гидростатическое давление, действующее на грань ABCD, Dy,Dz - площадь этой грани.

Силы гидростатического давления, действующие на остальные грани, определяют аналогично.

Pacсматриваемый объем выделенного параллелепипеда нахо­дится в равновесии, поэтому сумма проекций всех сил на ось х должна равняться нулю.

Заменяя силы, преобразуем это выражение к виду

где DPx — приращение давления при перемещении из грани ABCD в положение A'B'C'D'; X— проекция ускорения движения под действием массовых сил на ось х

После приведения подобных членов имеем

По аналогии с этим выражением можно получить подобные уравнения, рассматривая условия равновесия в проекциях на остальные координатные оси:

При уменьшении объема до точки А, т.е. когда Dx,Dy,Dz стремятся к нулю, полученные выражения преобразуются в диф­ференциальные уравнения равновесия жидкости в частных про­изводных:

Эти дифференциальные уравнения равновесия жидкости впервые опубликованы действительным членом Российской ака­демии наук Леонардом Эйлером в 1755 г.

Приведем их к виду, удобному для интегрирования. Умножив каждое соответственно на dx, dy и dz и сложив вместе получим

Выражение в скобках есть полный дифференциал давления,

Это основное дифференциальное уравнение равновесия жид­кости, или уравнение Эйлера.