
- •1.Элементы комбинаторики (перестановки, сочетания, размещения).
- •2.Что называется испытанием, событием? Примеры.
- •3.Три вида событий (невозможные, достоверные, случайные). Определения и примеры.
- •6.Недостатки классического определения вероятности события. Статистическое и геометрическое определение вероятности события.
- •10.Вероятность противоположного события (вывод).
- •11. Вероятность появления хотя бы одного события (вывод).
- •12. Полная вероятность – постановка задачи и вывод формулы.
- •19.Случайные величины – дискретные и непрерывные. Определение и примеры.
- •20.Закон распределения дискретной случайной величины – определение. (вывод).
- •21.Биномиальное, геометрическое (бесконечное и с ограничением) распределения, распределение Пуассона – определения.
- •23. Свойства математического ожидания (вывод).
- •24.Математическое ожидание биномиального распределения (вывод).
- •26. Свойства дисперсии дискретной случайной величины (вывод).Свойства дисперсии
- •27.Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин.
- •32. Нормальное распределение, функция плотности, ее график.
- •Вопрос 42.Равномерное распределение ,функция плотности и её график.
32. Нормальное распределение, функция плотности, ее график.
Для
иллюстрации геометрического смысла
перечисленных свойств приведем пример
графика плотности распределения
вероятностей. Для большей наглядности
на рис. представлен также график
соответствующей функции распределения
вероятностей
Н
ормальное
распределение,
также называемое гауссовым
распределением, гауссианой или распределением Гаусса —распределение
вероятностей,
которое задается функцией плотности
распределения:
где параметр μ — среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и указывает координату максимума кривойплотности распределения, а σ² — дисперсия.
33.
Функция распределения вероятностей
нормального распределения, ее
график.Нормальным называют
распределение вероятностей непрерывной
случайной величины, которое задается
плотностью
Нормальное
распределение задается двумя
параметрами:
–
математическим ожиданием,
–
средним квадратическим отклонением.
График
плотности нормального распределения
называют нормальной
кривой (кривой Гаусса).
Нормированным называют
нормальное распределение с
параметрами
.
Плотность
нормированного распределения задается
формулой
34
Вероятность
попадания в заданный интервал нормальной
случайной величиныКак
уже было установлено, вероятность того,
что непрерывная случайная величина
примет
значение, принадлежащее интервалу
,
равна определенному интегралу от
плотности распределения, взятому в
соответствующих пределах:
.Для
нормально распределенной случайной
величины соответственно
получим:
.Вывод:вероятность
того, что нормально распределенная
случайная величина
примет
значение, принадлежащее интервалу
,
равна:
,
где
–
математическое ожидание,
–
среднее квадратическое отклонение
данной случайной величины.
35Вероятность
заданного отклонения нормально
распределенной случайной величины от
ее математического ожиданиячасто
требуется вычислить вероятность того,
что отклонение нормально распределенной
случайной величины Х по
абсолютной величине меньше заданного
положительного числа d, т.
е. требуется найти вероятность
осуществления неравенства |x —а|<d.Заменим
это неравенство равносильным ему
двойным неравенством
Тогда
получим:
36.
Правило
трех сигм
Вычислим
вероятность того, что отклонение
нормально распределенной случайной
величины
от
своего математического ожидания по
абсолютной величине не превысит
.
Воспользуемся
формулой для нахождения вероятности
заданного отклонения, в которую в
качестве
подставим
:
Таким
образом, вероятность того, что отклонение
случайной еличины
по
абсолютной величине будет меньше
утроенного среднего квадратического
отклонения, равна 0,9973.
Другими
словами, вероятность того, что абсолютная
величина отклоненияпревысит
,
составляет всего 0,0027. Такое событие,
исходя их принципа невозможности
маловероятных событий, можно считать
практически невозможным.
Вывод
(правило трех сигм): если
случайная величина распределена
нормально, то абсолютная величина ее
отклонения от математического ожидания
не превосходит утроенного среднего
квадратического отклонения
37.
показательное
распределение функция плотности и
график
Непрерывная случайная величина Х,
функция плотности которой задается
выражением
называется случайной величиной,
имеющей показательное,
или экспоненциальное, распределение.
Здесь параметр λ постоянная положительная
величина.
Величина
срока службы различных устройств и
времени безотказной работы отдельных
элементов этих устройств при выполнении
определенных условий обычно подчиняется
показательному распределению. Также
этому распределению подчиняется время
ожидания клиента в системе массового
обслуживания (магазин, мастерская,
банк, парикмахерская и т.д.). Другими
словами, величина промежутка времени
между появлениями двух последовательных
редких событий подчиняется зачастую
показательному распределению. График
дифференциальной функции показательного
распределения показан на рис. 2.11.
38.
функция
распределения показательного
распределенияФункция
распределения Интегрируя
плотность, получаем функцию
экспоненциального распределения:
39.
вероятность
попадания показательного распределения
случайной величины в заданный интервал
Также легко определить и вероятность
попадания случайной величины, подчиненной
показательному закону распределения,
в заданный интервал.
Вопрос 40.Математическое ожидание (вывод),дисперсия,среднее квадратическое отклонение показательного распределения.Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:M(X)=x1p1+x2p2+…+xnpnДисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.Дисперсия –среднее значенте квадратов отклонения.D(X)=M[X-M(X)]2Рабочая формула дисперсии :D(X)=M(X2)-[M(X)]2математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой