32. Нормальное распределение, функция плотности, ее график.

Для иллюстрации геометрического смысла перечисленных свойств приведем пример графика плотности распределения вероятностей. Для большей наглядности на рис. представлен также график соответствующей функции распределения вероятностей Н ормальное распределение, также называемое гауссовым распределением, гауссианой или распределением Гаусса —распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения:

где параметр μ — среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и указывает координату максимума кривойплотности распределения, а σ² — дисперсия.

33. Функция распределения вероятностей нормального распределения, ее график.Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое задается плотностью  Нормальное распределение задается двумя параметрами:   – математическим ожиданием,   – средним квадратическим отклонением. График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Нормированным называют нормальное распределение с параметрами  . Плотность нормированного распределения задается формулой

34 Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величиныКак уже было установлено, вероятность того, что непрерывная случайная величина   примет значение, принадлежащее интервалу  , равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в соответствующих пределах: .Для нормально распределенной случайной величины соответственно получим: .Вывод:вероятность того, что нормально распределенная случайная величина   примет значение, принадлежащее интервалу  , равна: , где   – математическое ожидание,   – среднее квадратическое отклонение данной случайной величины.

35^{Вероятность заданного отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания}часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной вели­чины Х по абсолютной величине меньше заданного положительного числа d, т. е. требуется найти вероятность осуществления неравенства  |x —а|<d.Заменим это неравенство равносильным ему двойным неравенством Тогда получим: 36. Правило трех сигм Вычислим вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины   от своего математического ожидания по абсолютной величине не превысит  . Воспользуемся формулой для нахождения вероятности заданного отклонения, в которую в качестве   подставим  : Таким образом, вероятность того, что отклонение случайной еличины   по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973. Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклоненияпревысит  , составляет всего 0,0027. Такое событие, исходя их принципа невозможности маловероятных событий, можно считать практически невозможным. Вывод (правило трех сигм): если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения 37. показательное распределение функция плотности и график Непрерывная случайная величина Х, функция плотности которой задается выражением            называется случайной величиной, имеющей показательное, или экспоненциальное, распределение. Здесь параметр λ постоянная положительная величина.      Величина срока службы различных устройств и времени безотказной работы отдельных элементов этих устройств при выполнении определенных условий обычно подчиняется показательному распределению. Также этому распределению подчиняется время ожидания клиента в системе массового обслуживания (магазин, мастерская, банк, парикмахерская и т.д.). Другими словами, величина промежутка времени между появлениями двух последовательных редких событий подчиняется зачастую показательному распределению. График дифференциальной функции показательного распределения показан на рис. 2.11.       38. функция распределения показательного распределенияФункция распределения Интегрируя плотность, получаем функцию экспоненциального распределения:

39. вероятность попадания показательного распределения случайной величины в заданный интервал   Также легко определить и вероятность попадания случайной величины, подчиненной показательному закону распределения, в заданный интервал.

Вопрос 40.Математическое ожидание (вывод),дисперсия,среднее квадратическое отклонение показательного распределения.Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:M(X)=x₁p₁+x₂p₂+…+x_np_nДисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.Дисперсия –среднее значенте квадратов отклонения.D(X)=M[X-M(X)]²Рабочая формула дисперсии :D(X)=M(X²)-[M(X)]²математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой