Условия однозначности.

Дифференциалные уравнения имеют бесконечное множество решений, формально этот факт отражается в наличии произвольных постоянных интегрирования. Для решения конкретной инженерной задачи к уравнениям следует добавить некоторые дополнительные условия, связанные с существом и отличительными признаками этой задачи.

Поля искомых функций – температуры, скорости и давления – находят в определенной области, для которой должны быть заданы форма и рзмеры, и вопределенном интервале времени. Для выведения единственного решения задачи из множества возможных необходимо задать значения искомых функций: в начальный момент времени во всей рассматриваемой области; в любой момент времени на границах рассматриваемой области.

Первые условия называются начальными условиями, вторые – граничными. Начальные и граничные условия позволяют вычислить значения произвольных постоянных интегрирования и получить конкретные выражения для искомой функций. часто используется общее название начальных и граничных условий – краевые условия. Более полную информацию об отличительных признаках конкретной задачи, включающую геометрические, физические, начальные и граничные условия, принято называть условиями однозначности.

18. Уравнения движения. Условия однозначности.

Д ифференциальное уравнение движения выражает собой основной закон динамики (ай З. Ньютона) применительно к движущейся сплошной среде. Идею вывода уравнения рассмотрим на элементарном примере движения жидкости между двумя параллельными плоскостями. Жидкость несжимаемая.

Движущимся объектом является элементарный параллелепипед постоянной массы (и постоянного объема). Согласно 2му закону Ньютона, его ускорение, умноженное на массу, равно векторной сумме действующих на него сил: (18.1), где – скорость движущегося элемента среды, ; – объем элемента, ; – вектор сил, действующих на элемент.

Будем учитывать три вида сил: силы тяжести, силы давления и силы внутреннего трения. Поскольку в рассматриваемом случае элемент движется вдоль оси 0х и движение примолинейно, достаточно одной проекции уравнения движения; для нестационарного процесса ускорение не равно нулю.

Сила тяжести, действующая на жидкую частицу, равна (18.2), где – проекция ускорения свободного падения на ось 0х.

Результирующая сила давления (18.3).

Результирующая сила трения (18.4).

Следовательно (18.5).

«–» перед силой давления введен в соответствии с определением давления в гидродинамике как положительного скаляра, вызывающего сжатие жидкости (но не растяжение).

Отбросив объем элементарного параллелепипеда в уравнении (18.5), получим уравнение движения в следующем виде: (18.6).

Последнее слагаемое связано с полем скорости по закону Ньютона, согласно которому сила внутреннего трения между частицами жидкости пропорциональна относительной скорости этих частиц и обратнопропорциональна расстоянию между их центрами. В рассматриваемом случае: (18.7).

Получаем: (18.8).

В общем случае трехмерного движения жидкости проекция уравнения движения на ось 0х имеет вид: (18.9).

В векторной форме уравнение движения имеет вид: (18.10) и представляет собой уравнение Навье-Стокса для несжимаемой жидкости, подчиняющейся закону трения Ньютона.