32. Законы излучения Планка и Вина, Стефана-Больцмана, Кирхгофа.

§ 59. Законы теплового излучения

Тепловое излучение подчиняется общим для электро­магнитных волн законам. Однако существуют специфи­ческие для теплового излучения законы, которые полу­чены применительно к абсолютно черному телу, находя­щемуся в термодинамическом равновесии.

Термодинамическим равновесием называют состоя­ние, при котором все тела, входящие в данную излучаю­щую систему, имеют одинаковую температуру, а интен­сивность излучения в любой точке объема не зависит от направления и имеет одну и ту же величину.

П ланк установил закон распределения энергии по длинам поля во всей области спектра теплового излу­чения абсолютно черного те­ла. Он показал, что энергия излучения с длиной волны , испускаемого черным те­лом с температурой Т, равна:

(16.3)

где E_,0— плотность потока монохроматического (спектрального) излучения черного тела, Вт/м⁴; С1=3,7413*10^-16 Вт*м² — первая постоянная излучения; С₂= = 1,4388*10^-2 м*К —вторая по­стоянная излучения.

На рис. 16.3 дано графическое представление уравнения (16.3), выражающего закон Планка. Видно, что энергия излучения, испускаемого черным телом, возрас­тает с температурой. Кривые имеют максимум с резким спадом в сторону коротких волн и более пологим спадом в сторону длинных волн. При   0 и   плот­ность потока излучения стремится к нулю.

Закон Планка имеет два предельных случая. Первый предельный случай относится к области больших длин волн при высоких значениях температур. В этом случае:

или (16.4)

что позволяет экспоненциальную функцию в уравнении (16.3) представить в виде ряда:

(16.5)

Условие (16.4) позволяет ограничиться двумя члена­ми этого ряда. Подставляя эти члены в формулу (16.3) вместо экспоненциальной функции, получим:

(16.5)

Зависимость (16.5) выражает закон Релея — Джинса, являющийся частным случаем закона Планка.

Второй предельный случай закона Планка соответст­вует коротковолновой области спектра при высоких тем­пературах, где С₂.

Тогда в уравнении (16.3) можно пренебречь едини­цей по сравнению с членом С₂/Т и получить следующую приближенную формулу:

(16.6)

Зависимость (16.6) известна как закон Вина.

Положения максимумов излучения (см. рис. 16.3) можно получить из. выражения (16.3), исследуя функцию на экстремум. Приравнивая производную нулю и находя значение = mах, при котором E достигает экстремального значения, получаем:

(16.7)

где max — длина волны, м, которой соответствует максимальная плотность излучения.

Зависимость (16.7) выражает закон смещения Вина для абсолютно черного тела. Согласно этому закону максимальное значение спектральной плотности потока излучения с повышением температуры сдвигается в сто­рону более коротких волн.

Закон Стефана — Больцмана устанавливает зависи­мость плотности интегрального полусферического излучения * от температуры абсолютно черного тела и может быть получен из формулы Планка. Интегрируя выражение (16.3) во всем интервале длин волн, получим:

(16.8)

где =5,67*10^-8 Вт/(м²*К⁴)—постоянная Стефана — Больцмана.

Согласно уравнению (16.8), плотность интегрального полусферического излучения абсолютно черного тела зависит только от температуры и изменяется пропорцио­нально четвертой степени абсолютной температуры. При высоких температурах величина T⁴ достигает больших значений, поэтому для удобства практических расчетов формулу (16.8) записывают в виде:

(16.9)

где С₀=*10⁸=5,67 Вт/(м²*К⁴)—коэффициент излучения абсолютно черного тела.

Зависимость (16.9) впервые экспериментально была установлена Стефаном задолго до появления квантовой теории Планка, позднее Больцман получил эту зависимость теоретически, исходя из первого и второго законов термодинамики.

Закон Стефана — Больцмана позволяет определить суммарное излучение поверхности тела по всем направлениям в пределах полусферы.