1. . Основные понятия и определения - температурное поле, градиент, тепловой поток, плотность теплового потока (q,q), закон Фурье.

Температурное поле – совокупность значений температуры во всех точках изучаемого пространства для каждого момента времени.

Нестационарное – изменяется с течением времени. Стационарное – не изменяется.

Изотермическая поверхность – геометрическое место точек, имеющих в данный момент времени одинаковую температуру. Изотермические поверхности, соответствующие разным температурам, не могут пересекаться между собой. Они могут замыкаться сами на себя либо оканчиваться на поверхности тела.

Градиент температуры – вектор, направленный по нормали к изотермическиой поверхности в сторону возрастания температуры.

Количество теплоты, Вт, проходящей в единицу времени через изотермическую поверхность площадью F, называется тепловым потоком и определяется из выражения: .

Количество теплоты, проходящее в единицу времени через единицу площади изотермической поверхности , Вт/м², называется плотностью теплового потока: .

Связь между количеством теплоты dQ, Дж, которое за время d проходит через элементарную площадку dF, расположенную на изотермической поверхности, и градиентом температуры dt/dn устанавливается законом Фурье: .

2. Уравнение теплопроводности, условия однозначности.

Дифференциальное уравнение теплопроводности выведено со следующими допущениями:

- тело однородно и изотропно;

- физические параметры постоянны;

- деформация рассматриваемого объема, связанная с изменением температуры, очень мала по сравнению с самим объемом;

- внутренние источники теплоты в теле, которые в общем случае могут быть заданы как , распределены равномерно.

, или .

Дифференциальное уравнение теплопроводности устанавливает связь между временным и пространственным изменениями температуры в любой точке тела, в которой происходит процесс теплопроводности.

Если принять теплофизические характеристики постоянными, что предполагалось при выводе уравнения, то дифур принимает вид: .

Примем - коэффициент температуропроводности.

и , где - оператор Лапласса в декартовой системе координат.

Тогда .

Условия однозначности или краевые условия включают в себя:

Геометрические условия,

3. Теплопроводность в стенке (граничные условия 1-ого рода).

Теплопроводность однослойной стенки.

Рассмотрим однородную плоскую стенку толщиной . На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные во времени температуры t_c1 и t_c2. Теплопроводность материала стенки постоянна и равна .

При стационарном режиме , кроме того, температура изменяется только в направлении, перпендикулярном плоскости стеки (ось 0х): . Поэтому уравнение теплопроводности имеет вид: .

Постоянные С₁ и С₂ в уравнении определим из граничных условий I рода:

при х = 0: t = t_c1 и C₂ = t_c1;

при х = : t = t_c2 и C₁ = –(t_c1 – t_c2)/ .

Следовательно:

Определим плотность теплового потока через плоскую стенку. В соответствии с законом Фурье с учетом равенства (*) можно написать: .

Следовательно (**).

Разность значений температуры в уравнении (**) называется температурным напором. Из этого уравнения видно, что плотность теплового потока q изменяется прямо пропорционально теплопроводности  и температурному напору t и обратно пропорционально толщине стенки .

Отношение называется тепловой проводимостью стенки, а обратная ему величина – термическим сопротивлением стенки.

Общее количество теплоты, которое передается через поверхность стенки площадью F за промежуток времени : .

Теплопроводность  следует брать при средней температуре стенки.