26. Каковы свойства внутренних сил системы?

1. Главный вектор всех внутренних сил системы равняется нулю.

2. Главный момент всех внутренних сил системы относительно любого центра или оси равен нулю:

Первое свойство основано на пятой аксиоме статики, то есть каждой внутренней силе соответствует другая внутренняя сила, равная ей по величине и противоположно направленная.

Второе свойство внешне похоже на условия равновесия, хотя таковым не является, так как внутренние силы прилагаются к разным точка системы и могут вызвать относительные перемещения.

27. Как определяются количество движения механической системы? момент количества движения относительно центра и оси? кинетическая энергия?

Теорема об изменении количества движения системы

Назовем количеством движения системы векторную величину , равную главному вектору количеств движения всех точек системы

Вектор может принимать любой значение и по его величине через форму (17.1.1) трудно правильно судить о поведении системы. Поэтому представим его в иной форме:

Следуя уравнению (15.2.1) запишем

Продифференцировав по времени, найдем

и подставляя в (17.1.1), получим

Количество движения системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс.

Количество движения равно нулю только в том случае, когда скорость центра масс равна нулю, даже если тело вращается вокруг оси, проходящей через центр масс.

Количество движения характеризует только поступательную часть движения системы вместе с центром масс.

Пусть дана система из n точек с массами . Составляя для каждой точки уравнения движения и складывая их, получим уравнение (16.2.1)

Мы получили теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.

Теорему можно записать в конечном варианте. Проинтегрировав (17.1.3), получим:

Изменение количества движения системы за время равно геометрической сумме импульсов действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени.

Данная теорема связана с теоремой о движении центра масс 16.2.

Моментом силы F относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r, проведенного из точ­ки О в точку А приложения силы, на силу F (рис. 25): Здесь М — псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F. Модуль момента силы (18.1) где a— угол между r и F; r sina = l — кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О — плечо силы. Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина Mz, равная проекции на эту ось вектора М момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси z (рис. 26). Значение момента Мz не зависит от выбора положения точки О на оси z. Если ось z совпадает с направлением вектора М, то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью:   (18.2)

Учитывая (18.1), можем записать где Frsin a = Fl =Mz — момент силы относительно оси z. Таким образом, работа при вращении тела  равна произведению момента действующей силы на угол поворота. Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:dA=dT, но поэтому Mzdj = Jzwdw, или Учитывая, что  получаем  (18.3) Уравнение (18.3) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Можно показать, что если ось z совпадает с главной осью инерции (см. § 20), проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство      (18.4) где J — главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).

Кинетическая энергия механической системы — это энергия механического движения этой системы.

Сила F, действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Таким образом, работа dA силы F на пути, который тело прошло за время возрастания скорости от 0 до v, идет на увеличение кинетической энергии dT тела, т. е.

Используя второй закон Ньютона  и умножая на перемещение dr получаем

    

Так как  то dA = mv dv=mvdv=dT, откуда

Таким образом, тело массой т, движущееся со скоростью v, обладает кинетической энергией

                                                                    (12.1)

Из формулы (12.1) видно, что кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела, т. е. кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения.

При выводе формулы (12.1) предполагалось, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчета, так как иначе нельзя было бы использовать законы Ньюто­на. В разных инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга, скорость тела, а следовательно, и его кинетическая энергия будут неодинаковы. Таким образом, кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета.