§7. Область нееквівалентних значень хвильового вектора. Зона Бріллюена

Перепозначивши хвильову функцію електрона, запишемо математичний вираз теореми Блоха (6.23) у вигляді

. (7.1)

В цих означеннях рівняння для власних функцій і власних значень гамільтоніана (6.24) набуває форми

. (7.2)

Хвильова функція електрона у періодичному полі кристалу має вигляд

,

. (7.3)

Теорема Блоха формулюється саме у такій формі. Для того, щоб переконатись у правильності виразу (7.3), покажемо, що функція (7.3) задовольняє умові (7.1). Підставляючи (7.3) у (7.1), маємо

,

що і треба було довести.

Із (7.3) видно, що хвильова функція електрона у періодичному полі кристалу відрізняється від хвильової функції вільного електрона наявністю періодичного множника. Як ми побачимо далі, в наближенні ефективної маси для кристалу кубічної симетрії . В цьому випадку вектор k у виразі (7.3) є хвильовим вектором. Такий же зміст вектор k має і в загальному випадку. Простір хвильових векторів k, що зображаються на базисі оберненої решітки, називається k-простором, або оберненим простором.

Запишемо рівняння (7.1) для вектора

k´ = k + g, (7.4)

що відрізняється від хвильового вектора k на вектор вузла оберненої решітки g (5.5)

. (7.5)

Враховуючи (5.5), (4.1), маємо

, (7.6)

де N – ціле число. При цьому

. (7.7)

Підставляючи (7.7) у (7.5), одержимо

. (7.8)

Співставляючи (7.1) і (7.8) бачимо, що функції і задовольняють одному і тому ж рівнянню. З огляду на це можна записати

. (7.9)

Записуючи рівняння (7.2) для вектора k´, маємо

. (7.10)

Співставляючи (7.2), (7.10) і враховуючи (7.9), в результаті одержимо

. (7.11)

Враховуючи (7.9), (7.11), можна зробити висновок, що розв’язки рівняння Шредінгера (7.2) для векторів k і k´ співпадають. У зв’язку з цим вектори k і k´, що пов’язані співвідношенням (7.4), є еквівалентними. Підставляючи (7.4) у (7.9), (7.11), одержимо

, (7.12)

.

На основі виразів (7.12) можна стверджувати, що хвильова функція і енергія електрона в кристалі є періодичними функціями в оберненому просторі.

Із (7.4) випливає, що нееквівалентні вектори k знаходяться тільки в одній із основних комірок оберненої решітки. Зазвичай у якості області нееквівалентних значень хвильового вектора k вибирають першу зону Бріллюена, чи просто зону Бріллюена.

Зона Бріллюена являє собою об’єм оберненої решітки, що обмежений площинами, які ділять навпіл і перпендикулярні до відрізків, що з’єднують один вузол оберненої решітки з усіма сусідніми вузлами. При цьому об’єм зони Бріллюена є рівновеликий до об’єму основної комірки оберненої решітки.

Зона Бріллюена двовимірної решітки зображена на рис.3 (заштрихована область). Такий вибір області нееквівалентних значень хвильового вектора k має перевагу перед іншими ту, що зона Бріллюена ясно відображає властивості симетрії кристалу.

Рис.7.1. Зона Бріллюена двовимірної решітки.

Об’єм зони Бріллюена згідно означення і (5.8) дорівнює

. (7.13)