§25. Нормальні координати кристалічної решітки

Потенціальна енергія кристалу (21.3) є квадратичною формою зміщень атомів з положення рівноваги . Враховуючи, що динамічна матриця є самоспряженою (див. (22.4)), квадратичну форму для потенціальної енергії можна привести до діагонального вигляду. Це здійснюється шляхом розкладу величин в ряд Фур’є по плоским хвилям і розкладу коефіцієнтів ряду Фур’є по власним векторам динамічної матриці :

. (25.1)

Використовуючи умову дійсності

(25.2)

і співвідношення (23.6), одержимо

. (25.3)

Підставляючи (25.1), (22.3) у (21.3), використовуючи рівняння динаміки кристалічної решітки (22.7), умови ортонормованості (9.3), (23.1) та умову дійсності, матимемо

. (25.4)

Кінетична енергія кристалу дорівнює

. (25.5)

Виконуючи для квадратичної форми, що відповідає кінетичній енергії (25.5), перетворення, аналогічні описаним вище, одержимо

. (25.6)

Функція Лагранжа кристалу дорівнює

. (25.7)

Величини і є відповідно узагальненими координатами і узагальненими швидкостями кристалічної решітки. Узагальнений імпульс, канонічно спряжений до координати , є

. (25.8)

Узагальнені координати є комплексними . Тут для зручності введено узагальнений імпульс , що канонічно спряжений до комплексно спряженої узагальненої координати .

Із (25.3), (25.8) випливає

. (25.9)

Функція Гамільтона решітки має вигляд

. (25.10)

Перейдемо до дійсних узагальнених координат шляхом перетворення

. (25.11)

Використовуючи (25.7), (25.11), виразимо функцію Лагранжа через дійсні узагальнені координати і швидкості:

. (25.12)

Узагальнений імпульс, канонічно спряжений до узагальненої координати , є

. (25.13)

Функція Гамільтона, виражена через дійсні узагальнені координати і імпульси, дорівнює

. (25.14)

Величина (25.14) є функцією Гамільтона системи гармонічних незалежних осциляторів. У зв’язку з цим узагальнені координати називаються ще нормальними координатами кристалічної решітки.

§26. Квантово-механічна теорія коливань кристалічної решітки. Фонони

Всі міркування до цих пір були класичними. Однак тепер, виходячи з виразу (25.14) для функції Гамільтона системи, легко побудувати квантово-механічну теорії коливань кристалічної решітки. Для цього у виразі (25.14) узагальненій координаті і узагальненому імпульсу , згідно правил квантової механіки, треба поставити у відповідність оператори, що задовольняють наступним комутаційним співвідношенням:

. (26.1)

Ці співвідношення задовольняються, якщо покласти:

, (26.2)

. (26.3)

Тоді, згідно (25.14), (26.2), (26.3), гамільтоніан системи можна подати у вигляді

. (26.4)

Оператор (26.4) є гамільтоніаном системи невзаємодіючих лінійних гармонічних осциляторів, власна хвильова функція якого дорівнює добутку хвильових функцій окремих осциляторів

, (26.5)

а власне значення E, енергія коливань решітки, — сумі енергій окремих осциляторів

, (26.6)

де квантові числа n_kj=0,1,2,… Хвильова функція окремого осцилятора має вигляд

, (26.7)

де

,

а є поліномом Ерміта порядку n.

Як бачимо з виразу (26.6) енергія коливань кристалічної решітки є сумою квантів енергії . Елементарне коливне збудження атомів решітки, що має енергію , називається фононом. Номер гілки коливань j і хвильовий вектор k відіграють роль квантових чисел фонона, а величини n_kj вказують на число відповідних фононів.

Згідно виразу (26.5) для хвильової функції системи значення j і k визначають номер стану, в якому знаходиться частинка (фонон), а n_kj визначає число заповнення станів (число фононів). Квантові стани всієї системи описуються набором чисел заповнення n_kj. В загальному випадку оператор, що діє на хвильову функцію з певним набором чисел заповнення, перетворює її у лінійну комбінацію хвильових функцій з різними наборами чисел заповнення. Так результат дії операторів координати (26.2) і імпульсу (26.3) на хвильову функцію окремого осцилятора (26.7) визначається матричними елементами

, (26.8)

. (26.9)

У зв’язку з цим можна перейти до представлення, в якому хвильова функція системи розглядається як функція чисел заповнення. Оператор діє на таку функцію, як функцію чисел заповнення. Це представлення називається представленням вторинного квантування.

Для побудови представлення вторинного квантування введемо основні оператори цього представлення, які, діючи на хвильову функцію, змінюють число заповнення в певному стані на одиницю. Введемо спочатку оператор знищення частинок, який, діючи на хвильову функцію, зменшує число частинок в певному стані на одиницю. Результат дії цього оператора на хвильову функцію окремого осцилятора (26.7) має вигляд

. (26.10)

Відмінними від нуля матричними елементами цього оператора є

. (26.11)

Введемо далі оператор, що ермітово спряжений до оператора знищення частинок,

. (26.12)

Результат дії цього оператора на хвильову функцію визначається виразом

. (26.13)

Із виразу (26.13) видно, що оператор є оператором народження частинок. Легко бачити, що оператор має відмінні від нуля лише діагональні матричні елементи

, (26.14)

а оператор — матричні елементи

. (26.15)

Нескладно показати, що оператори знищення і народження числа частинок задовольняють комутаційним співвідношенням

, (26.16)

. (26.17)

Виходячи із виразу (25.10) гамільтоніан системи можна подати у вигляді:

, (26.18)

де, згідно (25.3), (25.9), оператори і задовольняють умовам

, (26.19)

. (26.20)

Враховуючи, що, згідно (25.8), імпульс є канонічно спряженим до координати , комутаційні співвідношення для операторів цих величин запишемо у вигляді:

. (26.21)

Для того, щоб перейти до представлення вторинного квантування, необхідно виразити оператори координат і імпульсів через основні оператори народження і знищення частинок. Враховуючи, що оператори координат і імпульсів та оператори народження і знищення, згідно (26.16), (26.17), (26.21), задовольняють схожим комутаційним співвідношенням, шукатимемо вирази для операторів , у вигляді лінійних комбінацій операторів народження і знищення. Нескладно переконатись, що такими лінійними комбінаціями є

, (26.22)

. (26.23)

Легко переконатись, що співвідношення (26.19) — (26.21) виконуються, якщо виконуються співвідношення (26.16), (26.17). Коефіцієнти пропорційності в лінійних комбінаціях вибрано так, щоб гамільтоніан системи в представленні вторинного квантування набув діагонального вигляду

. (26.24)

Гамільтоніан (26.24) має відмінні від нуля лише діагональні матричні елементи, що є його власними значеннями і визначають енергію системи (26.6).

Оператори народження і знищення фонона задовольняють комутаційним співвідношенням (26.16), (26.17) для бозе-операторів. Отже, фонони є бозе-частинками.

Використовуючи представлення вторинного квантування ми не одержали для енергії системи нового результату. Однак представлення вторинного квантування є більш зручним в порівнянні з координатним представленням у випадку, коли нам треба вирахувати крім матричних елементів гамільтоніану системи невзаємодіючих фононів матричні елементи операторів, що описують взаємодію електронів з коливаннями кристалічної решітки (електрон-фононну взаємодію) (див. §27).