§22. Коливання ідеальної кристалічної решітки

_{Для ідеальної кристалічної решітки номер вузла кристалічної решітки в системі рівнянь (21.10) приймає нескінченне число значень. У зв’язку з цим коливання кристалічної решітки описується системою нескінченного числа рівнянь (21.10). Використовуючи властивості трансляційної симетрії ідеального кристалу, систему нескінченного числа рівнянь (21.10) можна звести до системи кінцевого числа рівнянь. Для цього будемо шукати розв’язок системи рівнянь (21.10) у вигляді}

. (22.1)

Підставляючи (22.1) в (21.10), після нескладних перетворень одержимо систему 3r рівнянь для невідомих величин e_(i) ( = x, y, z; i = 0,1,…, r-1):

, (22.2)

де

(22.3)

є елементами так званої динамічної матриці кристалу. З властивості трансляційної симетрії кристалу випливає, що залежність матриці силових постійних від і зводиться до її залежності від різниці цих векторів . У зв’язку з цим після підсумовування по n у (22.3) права частина цього рівняння не залежить від n. Без умови трансляційної симетрії кристалу розв’язку (22.10) у вигляді (22.1) не існувало б, оскільки ліва частина (22.2) залежала б від n, а права — ні.

Легко переконатись, що динамічна матриця (22.3) є самоспряженою, тобто задовольняє умові

. (22.4)

Зауважимо, що матриця в рівнянні руху кристалічної решітки (22.2) виявилась самоспряженою завдяки виділення окремо множника у виразі (22.1).

Перепишемо рівняння (22.2) у вигляді

. (22.5)

Умовою розв’язку системи лінійних однорідних рівнянь (22.5) є рівність нулю детермінанта матриці:

. (22.6)

Рівняння (22.6) є алгебраїчним рівнянням степені 3r відносно ². Воно має 3r розв’язків, які залежать від хвильового вектора k, оскільки від вектора k залежить динамічна матриця . Будемо враховувати тільки додатні значення . Від’ємні значення  врахуються, коли будемо будувати загальний розв’язок системи рівнянь (21.10) шляхом лінійної комбінації часткових розв’язків (22.1), що записані в комплексній формі. При цьому необхідно врахувати, що розв’язки системи (21.10) є дійсними.

Позначимо ці розв’язки рівняння (22.6) у вигляді _j(k), де j пробігає значення j=0,1,…,3r.

Підставляючи розв’язки _j(k) у систему рівнянь (22.2), одержимо для кожного з них набір векторів поляризації зміщень атомів , що задовольняють системі рівнянь

, (22.7)

де =x,y,z; i=0,1,…,r-1.

§23. Властивості розв’язків рівняння руху кристалічної решітки

Рівняння (22.2) є рівнянням на власні значення та власні вектори динамічної матриці. Згідно (22.3), динамічна матриця є самоспряженою. Власні значення такої матриці є дійсними. Оскільки є додатніми, то в рівнянні (22.7) також є дійсними величинами. Власні вектори самоспряженої матриці є ортогональними. Нормуємо їх на одиницю. В результаті власні вектори задовольняють умові ортогональності і нормування:

(23.1)

Легко переконатись, що динамічна матриця задовольняє також умові:

(23.2)

Записавши рівняння, комплексно спряжене до (22.7), використовуючи (23.2) і умову дійсності , матимемо:

. (23.3)

Запишемо рівняння (22.7) для хвильового вектора :

. (23.4)

Порівнюючи рівняння (22.3) та (22.4), бачимо, що ці рівняння є рівняннями на власні значення однієї і тієї ж динамічної матриці . Враховуючи це, з рівнянь (23.3), (23.4) випливає, що частота коливань кристалічної решітки є парною функцією хвильового вектора , тобто задовольняє умові:

. (23.5)

Власні вектори динамічної матриці в рівняннях (23.3), (23.4) повинні бути рівними, або відрізнятись знаком. Таким чином власні вектори повинні задовольняти умові

, (23.6)

або

. (23.7)

Друга умова (23.7) більш зручна при аналізі коливань решітки кристалів кубічної симетрії, для яких динамічна матриця і власні вектори є дійсними величинами, тобто задовольняють умові

. (23.8)

Використовуючи (23.7), (23.8) для кристалів кубічної симетрії маємо:

. (23.9)

З (23.9) випливає, що при заміні хвильового вектора на напрямок вектора поляризації змінюється на протилежний.

Оскільки динамічна матриця (22.3) не змінюється при заміні хвильового вектора на вектор

, (23.10)

де – вектор вузла оберненої решітки (5.5), то і розв’язки (22.7) не змінюються при такій заміні, тобто:

, . (23.11)

Рівність (23.11) означає, що хвильові вектори коливань кристалічної решітки і є еквівалентними. Умова (23.11) для коливань кристалічної решітки є аналогічною умові (7.12) для електронних станів кристалу. Таким чином, щоб отримати різні коливні стани атомів решітки, досить розрахувати їх тільки для хвильових векторів в межах зони Бріллюена.

Дослідимо розв’язки рівнянь динаміки кристалічної решітки (22.7) при . Покажемо, що три розв’язки рівняння (22.7) при теж прямують до нуля, тобто

. (23.12)

Для цього підставляючи (22.3) у (22.7), при одержимо:

. (23.13)

Покажемо, що рівняння (23.13) має три розв’язки, для яких

. (23.14)

З (22.1), (23.4) випливає, що амплітуда коливань атомів для цих розв’язків не залежить від сорту атома. Використовуючи (23.14), винесемо значення амплітуди коливань в лівій стороні рівності (23.13) за знак суми по . В результаті маємо:

. (23.15)

Враховуючи умову (21.13) для силових сталих кристалу, одержимо, що ліва частина рівняння (23.15) дорівнює нулю, а отже, дорівнює нулю і права частина цього рівняння. Оскільки всі три проекції вектора поляризації не можуть бути рівними нулю, то з (25.13) випливає , що й треба було показати (див. (23.12)). Для того, щоб ця рівність мала місце, достатньо, щоб хоча б одна з компонент вектора була відмінною від нуля. Нехай

, .

Позначимо відповідну гілку коливань . Можливі два інші незалежних розв’язки:

, та , .

Відповідні дві гілки коливань позначимо . Ці три гілки коливань, для яких виконуються умови (23.12), (23.14), називаються акустичними гілками. Як видно з (22.1), (23.14), амплітуда коливань у граничному випадку не залежить від сорту атома. При таких коливаннях всі атоми примітивної комірки рухаються у фазі, тобто комірка коливається як одне ціле.

Дослідимо розв’язки рівняння руху кристалічної решітки (22.7) при малих і для таких частот , які задовольняють умові (23.12), тобто відповідають акустичним гілкам коливань. Врахуємо незалежність динамічної матриці (22.3) від номера вузла кристалічної решітки n. Покладемо у виразі (22.3) , і виділимо множник . Розкладаючи зазначений множник за степенями до квадратичного включно і підставляючи після цього вираз (22.3) в рівняння руху (22.7), одержимо в лівій частині цього рівняння три складові. Це рівняння можна розв’язати за методом теорії збурень, прирівнюючи члени одного порядку малості по відношенню до значень проекцій хвильового вектора. З рівняння для нульового порядку теорії збурень, використовуючи умову (21.13) для силових постійних і умову (23.14) для акустичних гілок коливань, легко одержати, що перший член в лівій частині рівняння руху (22.7), який не містить хвильового вектора k, дорівнює нулю. Підставляючи розв’язок рівняння першого порядку теорії збурень в рівняння другого порядку та використовуючи (23.14) і умову для силових постійних, що випливає з інваріантності потенціальної енергії відносно повороту кристалу як цілого, одержимо, що одна частина цього рівняння пропорційна квадрату частоти , а друга являється квадратичною функцією проекцій хвильового вектора . Таким чином, при малих квадрат частоти хвильового вектора є лінійною комбінацією добутку проекцій хвильового вектора . Для так званих симетричних напрямків хвильового вектора, для яких існують чисто повздовжні і поперечні коливання, залежність частоти від хвильового вектора може бути записана у вигляді

, (23.16)

де – швидкість акустичних хвиль в кристалічній решітці.

Вираз (23.16) легко одержати для кристалів з центром інверсії, для яких члени, що пропорційні першим степеням проекцій хвильового вектора k, в лівій частині рівняння руху (22.7) дорівнюють нулю. Назва акустичних гілок коливань атомів кристалічної решітки походить від того, що такі коливання схожі до коливань пружного середовища при проходженні акустичних хвиль.

Прирівнюючи рівняння руху кристалічної решітки (22.7) при малих до рівнянь руху пружного середовища, можна знайти зв’язок між силовими постійними кристалу і модулями пружності.

Дослідимо інші розв’язки рівняння (23.13), для яких умова (23.14) не виконується, а отже, не виконується й умова (23.12), яка випливає з попередньої. Помножуючи ліву і праву частину рівняння (23.13) на та підсумовуючи по i, одержимо

. (23.17)

Враховуючи умову (21.13) для силових сталих кристалу, одержимо, що ліва частина рівняння (23.17) дорівнює нулю, а отже, дорівнює нулю і права частина цього рівняння. Оскільки тепер , то з рівності нулю правої частини (23.17) випливає

. (23.18)

Враховуючи (22.1), матимемо

. (23.19)

Таким чином, коливання атомів у примітивній комірці в граничному випадку відбувається так, що центр мас комірки залишається нерухомим. Такі гілки коливань, число яких буде 3r-3, називаються оптичними гілками. Отже, поряд з акустичними гілками коливань у кристалі існують оптичні гілки, для яких

, , (23.20)

Оптичні гілки коливань існують лише в кристалах зі складною решіткою, елементарна комірка яких містить два або більше атомів. Назва оптичних гілок коливань походить від того, що в іонних кристалах при коливаннях такого типу в комірці виникає змінний електричний дипольний момент, який визначає оптичні властивості кристалу.

Закон дисперсії для акустичних і оптичних коливань решітки кристалу можна одержати, розв’язавши рівняння (22.6) для довільного значення хвильового вектора k. Закон дисперсії для коливань кристалічної решітки з двома атомами на примітивну комірку схематично показано на рис.23.1 для певного напрямку хвильового вектора k.

Рис.23.1 Закон дисперсії для акустичних і оптичних гілок коливань кристалічної решітки

Щілина в спектрі частот коливань кристалічної решітки (рис.23.1) залежить від силових сталих і маси атомів. У випадку, коли силові сталі і маса слабо залежать від індексів сорту атома, положення акустичних гілок на межі зони Бріллюена наближається до положення відповідних оптичних гілок. Якщо атоми в кристалі замінити атомами одного сорту, то в такому кристалі існують лише акустичні гілки коливань. Це означає, що при опису такого кристалу за допомогою складної кристалічної решітки (рис.23.1) акустичні гілки коливань на межі зони Бріллюена зливаються з відповідними оптичними гілками. Ця ситуація більш детально досліджується на прикладі коливань атомів одновимірної кристалічної решітки.