§18. Рух електрона в кристалі, що знаходиться в зовнішньому полі

Нехай кристал знаходиться в зовнішньому полі. Тоді крім періодичного поля решітки на електрон діє зовнішня сила F. Вважатимемо, що ця сила є малою і задовольняє умові Fa , де a – стала решітки, - ширина забороненої зони. В цьому випадку така сила не приводить до переходу електрону в інші енергетичні зони. Дія цієї сили на електрон буде приводити лише до зміни хвильового вектора електрона k у межах однієї енергетичної зони. Хвильову функцію електрона можна подати у вигляді пакету блохівських хвильових функцій:

, (18.1)

де має гострий максимум при деякому k= k₀. Швидкість руху електрона визначається груповою швидкістю цього пакету

. (18.2)

Зміна енергії електрона за одиницю часу дорівнює роботі зовнішньої сили за одиницю часу.

. (18.3)

Підставляючи (18.2) у (18.3), маємо:

. (18.4)

Диференціюючи за часом функцію , отримаємо

. (18.5)

Порівнюючи (18.4) і (18.5), матимемо

. (18.6)

Ми отримали для електрона квазікласичне рівняння руху, в якому роль імпульсу відіграє величина . Величина

(18.7)

називається квазіімпульсом електрона, оскільки його властивості відрізняються від імпульсу вільної частинки. Для того, щоб це показати, отримаємо рівняння руху електрона, в якому фігурує його швидкість. Диференціюючи (18.2) за часом, маємо

. (18.8)

Підставляючи у (18.8) рівняння руху (18.6) і означення тензора оберненої ефективної маси (16.3), маємо

. (18.9)

Рівняння (18.9) є рівнянням руху електрона, в якому фігурує його швидкість і тензор оберненої ефективної маси. Це рівняння відрізняється від класичного рівняння руху вільного електрона, яке виражається через швидкість і масу електрона. Для того, щоб показати цю різницю запишемо рівняння (18.9) в головних вісях тензора . Згідно (16.6) маємо

. (18.10)

Для кристалів кубічної симетрії , а рівняння руху електрона має вигляд

. (18.11)

Таким чином, рівняння руху електрона (18.10) під дією зовнішньої сили схоже із звичайним класичним рівнянням, однак масу електрона в ньому потрібно замінити на ефективну масу, яка може залежати від напрямку руху електрона. Проекції квазіімпульсу електрона в кристалі в загальному випадку дорівнюють . Така відмінність у рівняннях руху вільного електрона та електрона в кристалі зумовлена впливом на електрон періодичного поля кристалу.

§19. Густина електронних станів

Рівняння Шредінгера для електрона в кристалі, який у довільному випадку містить домішки, можна подати у вигляді (див. (10.40)):

(19.1)

Для ідеального кристалу індекс стану  згідно (7.2) дорівнює .

Повна електронна енергія кристалу без урахування електрон-електронної взаємодії дорівнює

, (19.2)

де – число заповнення стану, яке приймає значення 1 чи 0. Середнє значення повної електронної енергії кристалу дорівнює

. (19.3)

Тут – функція розподілу Фермі:

, (19.4)

де – рівень Фермі, k_Б – постійна Больцмана, Т – температура.

Для розрахунку середнього значення повної електронної енергії кристалу (19.3) необхідно розрахувати суму по індексах стану  від функції . Легко показати, що ця сума дорівнює

. (19.5)

Тут – густина електронних станів (число електронних станів на одиничний інтервал енергії), що описується виразом:

, (19.6)

де – -функція Дірака. Крім того, згідно (19.5), густину станів можна подати у вигляді:

, (19.7)

де – число електронних станів на інтервал енергії , яке дається виразом:

. (19.8)

Одержимо вираз для густини електронних станів ідеального кристалу. Згідно (19.8) маємо:

. (19.9)

Таким чином, для розрахунку отримаємо формулу для підсумовування по k деякої функції (k). Використовуючи (8.5), (8.6), одержимо:

.(19.10)

Оберемо елемент об’єму d³k в k-просторі у формі елементарної комірки оберненої решітки. Тоді маємо b

. (19.11)

При одержанні останньої рівності у формулі (19.11) використано (5.8).

Підставляючи (19.11) в (19.10) маємо:

, (19.12)

де – об’єм кристалу.

Формула (19.12) встановлює правило заміни суми по k інтегралом по об’єму в оберненому просторі.

Підставляючи (19.12) у (19.9), одержимо

. (19.13)

Інтегрування у виразі (19.13) проводиться по об’єму оболонки в оберненому просторі, яка обмежена двома поверхнями постійної енергії:

, . (19.14)

Враховуючи зазначене, інтеграл у виразі (19.13) зводимо до інтегралу з елементом об’єму у формі паралепіпеда, висота якого дорівнює товщині оболонки dk_n, а площа основи – .

. (19.15)

У виразі (19.15) k_n – проекція хвильового вектора на напрямок зовнішньої нормалі до поверхні постійної енергії. Диференціюючи перше рівняння (19.14), маємо

(19.16)

Тут враховано, що вектор градієнта паралельний зовнішній нормалі до поверхні постійної енергії. Підставляючи (19.16) в (19.15), одержимо:

. (19.17)

Використовуючи (19.17), перепишемо вираз (19.13) у вигляді:

. (19.18)

Підставляючи (19.18) у (19.7), в результаті одержимо вираз для густини електронних станів ідеального кристалу:

. (19.19)

Для прикладу розрахуємо густину електронних станів кристалу в наближенні ефективної маси.

Рівняння поверхні постійної енергії електрона в кристалі (19.14) у цьому випадку, згідно виразу (16.9), має форму сфери, а вектор градієнта – паралельний вектору k, тому

. (19.20)

Індекс стану у виразі (19.19) включає індекс проекції спіну електрона на вісь z. Оскільки рівняння поверхні постійної енергії (19.14) у цьому випадку, згідно виразу (16.9), від індексу проекції спіну не залежить, то підсумовування по у виразі (19.19) зводиться до множення на число 2. Підставляючи (19.20) в (19.19), з врахуванням зазначеного одержимо:

. (19.21)

Враховуючи, що інтеграл по поверхні сфери у виразі (19.21) дорівнює , а, згідно (16.9),

, (19.22)

в результаті одержуємо:

. (19.23)

Таким чином, в наближенні ефективної маси, а також майже вільних електронів густина одноелектронних станів кристалу зростає зі збільшенням енергії за законом .