Законы Кирхгофа для мгновенных значений цепей изменяющегося тока
1) Алгебраическая сумма мгновенных значений токов в проводниках, соединённых в узел, равна нулю:
.
(2.10)
2) Алгебраическая сумма мгновенных напряжений на всех элементах любого замкнутого контура схемы равна нулю:
.
(2.11)
Временная и векторная диаграммы – Вопрос № 30, 33, 36, 40
44. Электроустановка, предназначенная для компенсации реактивной мощности. Конструктивно представляет собой конденсаторы обычно соединенные по схеме «треугольник» и разделенные на несколько ступеней с разной емкостью, и устройство управления ими. Устройство управления чаще всего способно автоматически поддерживать заданный коэффициент мощности на нужном уровне переключением числа включенных в сеть.
Дополнительно конденсаторная установка может содержать в себе фильтры высших гармоник.
Для безопасного обслуживания каждый конденсатор установки снабжается разрядным контуром для снятия остаточного заряда при отключении от сети.
Преимуществами конденсаторов в качестве компенсаторов реактивной мощности являются низкие потери активной мощности (порядка 0,3–0,4% Вт/ВАр), отсутствие движущихся частей и неприхотливость в обслуживании. К их недостаткам можно отнести невозможность плавной регулировки реактивного сопротивления, поскольку коммутация даёт только ступенчатое изменение суммарной ёмкости.
45. Параллельное соединение активно-индуктивного и активно-ёмкостного сопротивлений – ДОДЕЛАТЬ111
Законы Кирхгофа для мгновенных значений цепей изменяющегося тока
1) Алгебраическая сумма мгновенных значений токов в проводниках, соединённых в узел, равна нулю:
. (2.10)
2) Алгебраическая сумма мгновенных напряжений на всех элементах любого замкнутого контура схемы равна нулю:
. (2.11)
Векторные диаграммы для различного характера цепи – Вопрос № 30, 33, 36, 40, 43
Активные и реактивные составляющие токов и напряжений
При расчете электрических цепей переменного тока реальные элементы цепи (приемники, источники) заменяются эквивалентными схемами замещения, состоящими из комбинации идеальных схемных элементов R, L и С.
Пусть некоторый приемник энергии носит в целом активно-индуктивный характер (например, электродвигатель). Такой приемник может быть представлен двумя простейшими схемами замещения, состоящими из 2-х схемных элементов R и L: а) последовательной (рис. 51а) и б) параллельной (рис. 51б):
|
|
|
|
Обе
схемы будут эквивалентны друг другу
при условии равенства параметров режима
на входе: 
, 
.
Для последовательной схемы (рис. 51а) справедливы соотношения:
,
.
Для параллельной схемы (рис. 51б) справедливы соотношения:
,
.
Сравнивая правые части уравнений для U и I, получим соотношения между параметрами эквивалентных схем:
, 
, 
, 
.
Из
анализа полученных уравнений следует
сделать вывод, что в общем случае 
и 
и
соответственно 
и 
,
как это имеет место для цепей постоянного
тока.
Математически любой вектор можно представить состоящим из суммы нескольких векторов или составляющих.
Последовательной схеме замещения соответствует представление вектора напряжения в виде суммы двух составляющих: активной составляющей Uа, совпадающей с вектором тока I, и реактивной составляющей Uр, перпендикулярной к вектору тока (рис. 52а):
|
|
|
|
Из
геометрии рис. 52а следуют
соотношения: 
, 
, 
. Треугольник,
составленный из векторов 
, 
, 
получил
название треугольника напряжений.
Если
стороны треугольника напряжений
разделить на ток I, то получится новый
треугольник, подобный исходному, но
сторонами которого являются полное
сопротивление Z, активное сопротивление
R и реактивное сопротивление X.
Треугольник со сторонами Z, R, X называется
треугольником сопротивлений (рис. 52б).
Из треугольника сопротивлений следуют
соотношения: R=Z×cosφ, X=Z×sinφ, 
, 
.
Параллельной схеме замещения соответствует представление вектора тока в виде суммы двух составляющих: активной составляющей Iа, совпадающей с вектором напряжения U, и реактивной составляющей Iр, перпендикулярной к вектору U (рис. 53а):
|
|
|
|
Из геометрии рисунка следуют соотношения:
, 
, 
.
Треугольник,
составленный из векторов 
получил
название треугольника токов.
Если стороны треугольника токов разделить на напряжение U, то получится новый треугольник, подобный исходному, но сторонами которого являются проводимости: полная – Y, активная - G, реактивная – B (рис. 53б). Треугольник со сторонами Y, G, B называется треугольником проводимостей. Из треугольника проводимостей следуют соотношения:
, 
, 
, 
.
Разложение напряжений и токов на активные и реактивные составляющие является математическим приемом и применяется на практике для расчета несложных цепей переменного тока.
10. Передача энергии от активного двухполюсника (источника) к пассивному двухполюснику (приемнику)
Двухполюсником называется устройство или часть схемы (цепи) с двумя выводами (полюсами). Если внутри двухполюсника содержатся источники энергии, то он называется активным (A), в противном случае – пассивным (П).
Энергетические характеристики передачи энергии от активного двухполюсника (источника) к пассивному двухполюснику (приемнику) на переменном токе зависят от соотношения параметров приемника и источника между собой (рис. 54)
|
|
|
|
По закону Ома ток в схеме равен:
.
Активная мощность приемника:
.
Активная мощность источника: PE=E×I.
При
постоянных параметрах источника энергии
активная мощность приемника зависит
от его параметров: 
.
Исследуем эту функцию на максимум при
изменении отдельных параметров.
Условие первое: X2 = var, R2=const:
или 
.
Максимум
мощности приемника 
имеет
место при условии равенства реактивных
сопротивлений приемника и источника
по модулю и противоположности их по
знаку, например, если реактивное
сопротивление источника носит индуктивный
характер, то реактивное сопротивление
приемника должно быть емкостным, и
наоборот.
Условие второе: R2 = var, X2 = const.
или 
.
Максимум мощности приемника имеет место при равенстве активных сопротивлений приемника и источника
Резонанс
в электрических цепях
Определение резонанса В электрической
цепи, содержащей катушки индуктивности
L и конденсаторы C, возможны свободные
гармонические колебания энергии между
магнитным полем катушки 
и
электрическим полем конденсатора 
.
Угловая частота этих колебаний wo,
называемых свободными или собственными,
определяется структурой цепи и параметрами
ее отдельных элементов R, L ,C.
Резонанс в цепи с параллельным соединением источника энергии и реактивных элементов L и C получил название резонанса токов
Резонанс в сложных схемах Схемы замещения реальных электрических цепей могут существенно отличаться от рассмотренных выше простейших последовательной или параллельной схем. Хотя условие резонансного режима в общем виде [ Im(Zвх)=0 и Im(Yвх)=0 ] для любой схемы сохраняется, однако конкретное содержание этих уравнений будет определяться структурой схемы замещения.
Проводимости ветвей и полная проводимость – ДОДЕЛАТЬ111
В настоящее время создано большое количество самых разнообразных электронных приборов и устройств. При практическом использовании они соединяются между собой с помощью электрических цепей, в простейших случаях состоящих из пассивных компонентов: резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности.
;
[См]
– активная проводимость;
[См]
– реактивная проводимость катушки
индуктивности.
Векторной диаграмме токов (рис. 22) для данной цепи соответствует уравнение в комплексной форме
;
.
Треугольник проводимостей, подобный треугольнику токов, приведен на рис. 23.
|
|
|
Рассмотрим более подробно свойства цепей, содержащих резисторы и конденсаторы, так называемые RC – цепи. Прежде всего заметим, что конденсатор может заряжаться или разряжаться, но через него не может проходить постоянный электрический ток (между пластинами конденсатора – диэлектрик!). |
Переменный синусоидальный ток в течение периода имеет различные мгновенные значения. Естественно поставить вопрос, какое же значение тока будет измеряться амперметром, включенным в цепь?
При расчетах цепей переменного тока, а также при электрических измерениях неудобно пользоваться мгновенными или амплитудными значениями токов и напряжений, а их средние значения за период равны нулю. Кроме того, об электрическом эффекте периодически изменяющегося тока (о количестве выделенной теплоты, о совершенной работе и т. д.) нельзя судить по амплитуде этого тока.
Наиболее удобным оказалось введение понятий так называемых действующих значений тока и напряжения. В основу этих понятий положено тепловое (или механическое) действие тока, не зависящее от его направления.
Действующее значение переменного тока - это значение постоянного тока, при котором за период переменного тока в проводнике выделяется столько же теплоты, сколько и при переменном токе.
Для оценки действия, производимого переменным током, мы сравним его действия с тепловым эффектом постоянного тока.
Мощность Р постоянного тока I, проходящего через сопротивление r, будет Р = Р2r.
Мощность переменного тока выразится как средний эффект мгновенной мощности I2r за целый период или среднее значение от (Im х sinωt)2 х r за то же время.
Пусть среднее значение t2 за период будет М. Приравнивая мощность постоянного тока и мощность при переменном токе, имеем: I2r = Mr, откуда I = √M,
Величина I называется действующим значением переменного тока.
Среднее значение i2 при переменном токе определим следующим образом.
Построим синусоидальную кривую изменения тока. Возведя в квадрат каждое мгновенное значение тока, получим кривую зависимости Р от времени.
Действующее значение переменного тока
Обе половины этой кривой лежат выше горизонтальной оси, так как отрицательные значения тока (-i) во второй половине периода, будучи возведены в квадрат, дают положительные величины.
Построим прямоугольник с основанием Т и площадью, равной площади, ограниченной кривой i2 и горизонтальной осью. Высота прямоугольника М будет соответствовать среднему значению Р за период. Это значение за период, вычисленное при помощи высшей математики, будет равно 1/2I2m. Следовательно, М = 1/2I2m
Так как действующее значение I переменного тока равно I = √M, то окончательно I = Im / √2
Аналогично зависимость между действующим и амплитудным значениями для напряжения U и Е имеет вид:
U = Um / √2,E= Em / √2
Действующие значения переменных величин обозначаются прописными буквами без индексов (I, U, Е).
На основании сказанного выше можно сказать, что действующее значение переменного тока равно такому постоянному току, который, проходя через то же сопротивление, что и переменный ток, за то же время выделяет такое же количество энергии.
Электроизмерительные приборы (амперметры, вольтметры), включенные в цепь переменного тока, показывают действующие значения тока или напряжения.
При построении векторных диаграмм удобнее откладывать не амплитудные, а действующие значения векторов. Для этого длины векторов уменьшают в √2раз. От этого расположение векторов на диаграмме не изменяется.
Энергетический процесс – ДОДЕЛАТЬ111
47. Сущность символического метода расчета состоит в том, что при синусоидальном токе можно перейти от уравнений, составленных для мгновенных значений и являющихся дифференциальными уравнениями [ см., например, к алгебраическим уравнениям, составленным относительно комплексов тока и ЭДС.
Пользуясь символическим методом и воспользовавшись законными с точки зрения практики радиотехнических устройств допущениями, легко произвести исследование установившегося режима в таком контуре.
Три
формы записи комплексного числа –
Алгебраическая: комплексного
числа 
в
виде 
, 
,
называется алгебраической
формой комплексного
числа.
Тригонометрическая:
Если
вещественную 
и
мнимую 
части
комплексного числа выразить через
модуль 
и
аргумент 
(
, 
),
то всякое комплексное число
,
кроме нуля, можно записать в тригонометрической
форме
Показательная: Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:
где 
—
расширение экспоненты для
случая комплексного показателя степени.
Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:
48. Выражение тока, напряжения, сопротивления, проводимости, ЭДС электромагнитной индукции, мощности комплексными числами – ДОДЕЛАТЬ111
Выражение закона Ома в символической форме было получено ранее. Применительно к изображениям действующих значений он записывался в виде
I = U / Z; U = Z I; U = I / Y; I = Y U.
Этими выражениями учитывается не только связь между действующими значениями тока и напряжения, но и сдвиг фаз между ними.
I закон Кирхгофа.
Для
мгновенных значений токов, сходящихся
в каком-либо узле цепи закон записывается
в виде 
.
Если 
,
то изображение вращающегося вектора
амплитуды токов будет
.
Взяв сумму всех векторов и приравняв ее нулю, получим
или 
.
Отсюда 
.
Учитывая, что 
,
для действующих значений можно записать 
.
II закон Кирхгофа.
Применительно
к контуру цепи для мгновенных значений
ЭДС и напряжений второй закон имеет
вид 
.
В
случае синусоидальных величин,
когда 
и 
,
закон можно представить в виде вращающихся
изображающих векторов
.
Отсюда 
.
Здесь 
; 
; 
–
комплексы амплитуд ЭДС, напряжений и
токов k-й ветви контура.
Принимая во внимание связь между амплитудными и действующими значениями, выражение закона можно записать в виде:
.
Если в какой-либо k-й ветви имеются последовательно соединенные элементы Rk, Lk, Ck, то
.
Тогда для этой ветви получим
.
Как и в случае цепей постоянного тока, перед составлением уравнений по II закону Кирхгофа необходимо задавать положительные направления ЭДС, токов и напряжений во всех ветвях цепи, обозначив эти направления стрелками.
Можно показать, что все методы расчета цепей постоянного тока применимы и для расчета цепей синусоидального тока, если использовать при этом символическое изображение функций.
Следует четко представлять, что при расчете цепей синусоидального тока реальные направления величин периодически изменяются. Поэтому произвол в выборе положительных направлений отражается на их фазах: изменение выбранного положительного направления на противоположное меняет фазу на 180°, что соответствует изменению направления изображающего вектора на обратное.
49.
Важнейшей характеристикой линейной
электрической цепи является комплексная
передаточная функция H(j
).
При этом электрическую цепь удобно
изображать в виде четырехполюсника
(рис. 4.1), на входные зажимы (1 – 1' ) которого
подается сигнал в виде напряжения с
комплексной амплитудой Um1,
или тока с комплексной амплитудой Im1,
а реакция снимается с выходных зажимов
(2 –
2' ) также в виде напряжения или тока с
комплексными амплитудами Um2, Im2>.
Комплексная передаточная функция (КПФ)
определяется как отношение комплексной
амплитуды реакции цепи к комплексной
амплитуде входного воздействия.
В зависимости от типов входного воздействия и реакции цепи различают следующие виды КПФ:
1. Комплексная передаточная функция по напряжению
,
(4.1)
где Um1, Um2, U1, U2 – комплексные амплитуды и комплексные действующие значения напряжения воздействия на входе и напряжения реакции на выходе.
2. Комплексная передаточная функция по току
,
(4.2)
где Im1, Im2, I1, I2 — комплексные амплитуды и действующие значения тока воздействия и тока реакции.
3. Комплексное передаточное сопротивление
.
(4.3)
4. Комплексная передаточная проводимость
(4.4)
Из данных определений следует, что Hu(j ) и Hi(j ) являются безразмерными величинами, a HZ(j ) и HY(j ) – имеют соответственно размерности сопротивления и проводимости.
Комплексные передаточные функции определяются на частоте
Рис. 4.1
Рис. 4.2
сигнала воздействия и зависят только от параметров цепи.
Как всякую комплексную величину H(j ) можно представить в показательной, тригонометрической и алгебраической форме:
;
(4.5)
;
(4.6)
,
(4.7)
где 
–
модуль комплексной передаточной функции
называется амплитудно-частотной
характеристикой цепи (АЧХ),
а 
–
аргумент комплексной передаточной
функции называют фазо-частотной
характеристикой цепи (ФЧХ). Величины
(4.8)
есть вещественная и мнимая части комплексной передаточной функции цепи.
Из
(4.5)–(4.8) нетрудно получить соотношения,
связывающие АЧХ и ФЧХ с вещественными
и мнимыми частями комплексной передаточной
функции 
и 
;
(4.9)
.
(4.10)
АЧХ и ФЧХ являются наиболее фундаментальными понятиями теории цепей и широко используются на практике. Важность этих характеристик для систем электрической связи, радиовещания и телевидения объясняется самой природой передачи сигналов определенного спектрального состава по каналам связи. Требования к АЧХ и ФЧХ различных устройств являются определяющими при проектировании любой аппаратуры связи, так как от степени их выполнения во многом зависит качество передачи информации.
Если на вход объекта подавать периодический сигнал заданной амплитуды и частоты, то на выходе будет также периодический сигнал той же частоты, но в общем случае другой амплитуды со сдвигом по фазе. Взаимосвязь между параметрами периодических сигналов на входе и выходе объекта определяютчастотные характеристики. Чаще всего их используют для описания одноканальных систем:
|
(2.40) |
, n
>= m.
Формально
обобщенная частотная характеристика 
может
быть получена из передаточной
функции заменой p на 
|
(2.41) |
и представлена в виде
|
(2.42) |
.
Составляющие
обобщенной частотной характеристики 
имеют
самостоятельное значение и следующие
названия:
вещественная
частотная характеристика (ВЧХ),
мнимая
частотная характеристика (МЧХ),
амплитудная
частотная характеристика (АЧХ),
фазовая
частотная характеристика (ФЧХ).
Частотная
характеристика
по
выражению (2.42) может быть построена на
комплексной плоскости. В этом случае
конец вектора, соответствующий
комплексному числу
,
при изменении 
от
0 до 
прочерчивает
на комплексной плоскости кривую, которая
называется амплитудно-фазовой
характеристикой (АФХ).
Рис.2.6. Пример амплитудно-фазовой характеристики системы
Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) - графическое отображение зависимости сдвига по фазе между входным и выходным сигналами в зависимости от частоты,
Для
определения 
числитель
и знаменатель W(j
) разлагаются
на множители не выше второго порядка
,
тогда 
,
где знак "+" относится
к i=1,2,...,l (числителю
передаточной фунции), знак "-"
-к i=l+1,...,L (знаменателя
передаточной функции).
Каждое
из слагаемых 
определяется
выражением
где 
.
Наряду с АФХ отдельно строят и все остальные частотные характеристики. Так АЧХ показывает, как пропускает звено сигнал различной частоты; причем оценкой пропускания является отношение амплитуд выходного и входного сигнала. ФЧХ показывает фазовые сдвиги, вносимые системой на различных частотах.
Помимо рассмотренных частотных характеристик в теории автоматического управления используются логарифмические частотные характеристики. Удобство работы с ними объясняется тем, что операции умножения и деления заменяются на операции сложения и вычитания. Построенная в логарифмическом масштабе АЧХ, называется логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ)
|
(2.43) |
,
Эта
величина выражается в децибелах (дб).
При изображении ЛАЧХ удобнее по оси
абсцисс откладывать частоту в
логарифмическом масштабе, то есть
,
выраженную в декадах (дек).
Рис.2.7. Пример логарифмической амплитудной частотной характеристики
В логарифмическом масштабе может быть изображена также и ФЧХ:
Рис.2.8. Пример логарифмической фазовой частотной характеристики
Годограф кривая, представляющая собой геометрическое место концов переменного (изменяющегося со временем) вектора, значения которого в разные моменты времени отложены от общего начала О
Понятие годографа было введено английским учёным У. Гамильтоном.
Годограф даёт наглядное геометрическое представление о том, как изменяется со временем физическая величина, изображаемая переменным вектором, и о скорости этого изменения, имеющей направление касательной к годографу. Например, скорость точки является величиной, изображаемой переменным вектором v. Отложив значения, которые имеет вектор v в разные моменты времени, от начала О, получим годограф скорости; при этом величина, характеризующая быстроту изменения скорости в точке М, то есть ускорение (в этой точке), имеет для любого момента времени направление касательной к годографу скорости в соответствующей его точке М’.
Пассивные
двухполюсники и четырехполюсники
включают набор резистивных и реактивных
(индуктивных и емкостных) элементов, в
которых протекают электрические токи
под действием какого-либо одного внешнего
источника энергии. Для описания физических
явлений в таких цепях при воздействии
на входных зажимах источника гармонических
колебаний с фиксированной частотой 
=const
используют метод комплексных амплитуд,
который в свою очередь основывается на
введении понятий комплексных сопротивлений
или проводимостей отдельных элементов
цепи -r, 
,
, а
также комплексных амплитуд токов и
напряжений – 
, 
[1].
В
общем случае у источника гармонических
колебаний может изменяться не только
амплитуда и начальная фаза, но и угловая
частота -
.
Тогда комплексная характеристика
источника (входного воздействия)
записывается в виде функции мнимой
комплексной переменной - 
(
).
Эту характеристику обычно записывают
в показательной (полярной) форме и
называют комплексной спектральной
плотностью. Модуль этой характеристики
называют спектральной плотностью, а
аргумент - фазовой плотностью или
фазочастотной характеристикой. Так для
напряжения 
имеем:
|
где 
-
спектральная плотность напряжения, 
-
фазовая плотность напряжения.
Аналогично гармонический ток с переменной угловой частотой ω характеризуется своей комплексной спектральной плотностью:
|
В
зависимости от вида входного воздействия
(электрического сигнала) спектральные
плотности могут иметь непрерывный или
дискретный характер. В дальнейшем для
краткости будем опускать написание
зависимости от угловой частоты,
полагая 
, 
, 
, 
.
В реальном двухполюснике или четырехполюснике комплексные плотности токов и напряжений связаны между собой соотношениями, зависящими как от внутренних свойств элементов цепи, так и от способа соединения ветвей. Подобного рода соотношения называются частотными характеристиками.
На рис.1.1а изображен двухполюсник, имеющий два входных зажима, к которым подсоединяется источник входного сигнала. Если к цепи присоединяется источник тока J(t), то входной токi(t) = J(t), т.е. будет независимой функцией времени, а напряжение u(t) на входе определится через свойства цепи как зависимая функция. При гармоническом характере входного сигнала определяют отношение комплексов напряжения и тока.
|
(1.1) |
Такое отношение называют комплексным входным сопротивлением
двухполюсника:
Из
определения (1.1) следует, что Z(jω)
в свою очередь включает две
характеристики: 
-
амплитудно-частотную характеристику
(АЧХ) и 
-
фазочастотную характеристику (ФЧХ)
функции входного сопротивления.
а) б)
Рис. 1.1. Обобщенная комплексная схема замещения цепи:
а) двухполюсника; б) четырехполюсника
Если к цепи присоединяется источник напряжения e(t), то напряжение на двухполюснике u(t) = e(t), т.е. будет независимой функцией времени, a ток i(t) определится через свойства цепи как зависимая функция. При гармоническом характере входного сигнала определяют отношение тока к напряжению, которое называют комплексной входной проводимостью двухполюсника:
|
где Y(ω) и φ(ω) называют соответственно АЧХ и ФЧХ функции входной проводимости.
Функции Z(jω) и Y(jω) являются взаимно обратными функциями. В определении этих функций входят токи и напряжения, что дает возможность находить эти характеристики опытным путем, используя вольтметр, амперметр и прибор, измеряющий фазу гармонического колебания. Однако сами функции в силу линейности рассматриваемых цепей не зависят от величин токов и напряжений и могут быть определены непосредственно по структуре (топологии) цепи с учетом характера элементной базы ветвей. Для нахождения этих характеристик могут быть использованы все известные методы расчета цепей постоянного тока: законы Кирхгофа, простейшие преобразования, упрощающие схему и т.п. [1]. Исследование этих характеристик позволяет предсказать поведение цепи при различного рода воздействиях, о чем будет сказано далее.
Пример
1.1. Найти
АЧХ и ФЧХ для функции входного сопротивления
двухполюсника, образованного параллельным
соединением резистивного и индуктивного
элемента (рис.1.2а). Питание цепи
осуществляется от источника синусоидального
тока 
с
любой частотой.
а) б)
Рис. 1.2. Схема для исследования входного сопротивления двухполюсника:
а) исходная схема; б) комплексная схема замещения
Решение задачи начинаем с построения комплексной схемы замещения исходной цепи (рис. 1.2б), на входе которой действует комплексный спектр источника тока I(jω) = J(jω), в результате чего на двухполюснике будет иметь место комплексный спектр напряжения U(jω). Отношение их, определяемое выражением (1.1), может быть найдено непосредственно по структуре цепи путем объединения комплексных сопротивлений параллельно соединенных ветвей:
|
|
Сравнивая модули и аргументы, запишем АЧХ и ФЧХ
- АЧХ
функции входного сопротивленияисследуемого
выражения
φ(ω)
= 
-
ФЧХ функции входного сопротивления.
При построении графиков целесообразно перейти к относительной переменной Ω = ωL/r, которая указывает во сколько раз сопротивление индуктивности на данной частоте больше резистивного сопротивления. Для
этой переменной полученные выше выражения перепишутся в виде
|
|
Графики найденных функций представлены на рис.1.3а и рис.1.3б в относительных масштабных единицах.
а) б)
Рис. 1.3. Частотные характеристики функции входного сопротивления: а)АЧХ; б)ФЧХ
Расчетные значения сведены в таблице 1.
Таблица 1
-
,
Ом
,градусы
,
градусы0
1.0
0
0
90
0.5
1.12
0.447r
26.5
63.5
1.0
1.41
0.707r
45.0
45.0
1.5
1.80
0.832r
56.3
33.7
2.0
2.23
0.894r
63.4
26.6
2.5
2.69
0.928r
68.2
21.8
r
90
0
Для перехода к реальной частоте необходимо знать численные значения параметров цепи r и L .Тогда переход осуществляется по формуле ω = r/LΩ (рад/с), если L измеряется в генри, а r в омах.
Из рассмотренного примера следует, что для нахождения аналитического выражения Z(jω) или Y(jω) как функции частоты следует задать входное напряжение U (или входной ток I) и найти входной ток I (или входное напряжение U), затем воспользоваться одним из выражений Z = U/I или Y = I/U.
Если известна структура и характер элементов цепи, то искомое выражение можно найти непосредственно, как это было сделано в примере 1.1. Полученное выражение обычно приводят к виду
|
где 
и 
полиномы,
зависящие от переменной .
После преобразований с комплексными
слагаемыми всегда есть возможность
записать исследуемую функцию в полярной
(показательной) форме, выделяя зависимости
АЧХ и ФЧХ.
В
простейших неразветвленных rL и rС цепях
иногда используют понятие граничной
частоты 
.
Граничной называется частота, при
которой r
= X,
т.е. 
= r/L,
или 
=
1/rС.
Как следует из приведенного выше
примера 1.1, на граничной частоте Z(ω)
= 0.707r,
а φ(ω) = 45˚.
50. Колебательный контур — осциллятор, представляющий собой электрическую цепь, содержащую соединённые катушку индуктивности и конденсатор. В такой цепи могут возбуждаться колебания тока (и напряжения).
Колебательный контур — простейшая система, в которой могут происходить свободные электромагнитные колебания
Свободные колебания в идеальном контуре – ДОДЕЛАТЬ111
Период, частота и длина волны свободных колебаний – ДОДЕЛАТЬ111
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ КОНТУРА - отношение амплитуды напряжения на конденсаторе или равной ей амплитуды э.д.с. самоиндукции на катушке к амплитуде тока в колебательном контуре при последовательном резонансе. Также называют волновым сопротивлением контура.
Свободные колебания в реальном контуре – ДОДЕЛАТЬ111
ЗАТУХАНИЕ КОЛЕБАНИЙ - уменьшение амплитуды колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебат. системой. Потери энергии колебаний вызываются в механич. системах превращением её в теплоту вследствие трения и излучениемупругих волн в окружающую среду, в электрических системах - омич. потерями в них и излучением эл--магн. волн в окружающее пространство. Закон 3. к. определяется свойствами системы. В линейных системах 3. к. происходит по экспоненте:
Хк =
Х0ехр(-at)
(рис.), где t -
время, a - показатель затухания системы.
Для простейшей механич. системы -тела
массы т,
удерживаемого в положении равновесия
упругой силой и испытывающего трение,
пропорциональное скорости (с коэф.
пропорциональности b),
a=b/2m; для простейшей электрич. системы
- колебательного
контура с индуктивностью L и
сопротивлением Ra=R/2L.
3. к. практически можно считать
закончившимся, если амплитуда колебаний
уменьшилась до ~ 1% нач. величины. Время
t, в течение к-рого это произойдёт,
определяется из условия е-at=0,01
или at=4,6, то есть t=4,6/a. К затухающим
колебаниям, строго говоря, неприменимо
понятие периода или частоты. Однако
если затухание мало, то можно условно
пользоваться понятием периода T1 как
промежутка времени между двумя
последующими максимумами колеблющейся
величины (тока, напряжения,
размаха колебаний маятника и т. д.).
"Период" Т1 увеличивается
по мере увеличения потерь энергии в
системе. Для приведённых выше простейших
случаев соответствующая этому условному
"периоду" частота затухающих
колебаний 
где
w0 -
угловая частота собств. колебаний в
отсутствии потерь энергии в системе.
Скорость 3. к. часто характеризуют декрементом
затухания d=aT1,
определяющим уменьшение амплитуды за
один "период" колебаний, или
величиной d=d/p, наз. просто затуханием.
Скорость 3. к. связана с добротностьюколебат.
системы Q; в
рассмотренных простейших случаях d=l/Q.
В нелинейных системах отношение потерь
энергии за период к полной энергии
колебаний не остаётся постоянным, а
изменяется с изменением амплитуды
колебаний. Поэтому закон 3. к. оказывается
не экспоненциальным. Простейший с точки
зрения закона 3. к. случай - это нелинейная
механич. система, в к-рой величина силы
трения постоянна (не зависит от величины
скорости), а направление силы трения
противоположно скорости (т. н. сухое
трение). Такая сила трения возникает в
системах, движение к-рых связано со
скольжением, напр., при колебаниях
крутильного маятника с осью, установленной
в подшипниках скольжения. В этом случае
амплитуды колебаний убывают по закону
арифметич. прогрессии.
ДОБРОТНОСТЬ КОНТУРА – характеризует качество колебательного контура, обозначается Q. Численно равна отношению напряжения на любом из реактивных участков на резонансе к напряжению, подводимому к контуру, или отношению реактивного сопротивления к активному. При большой добротности контура напряжение на нем значительно превышает напряжение на входе контура.
51. Последовательный колебательный контур является простейшей резонансной (колебательной) цепью. Состоит последовательный колебательный контур, из последовательно включенных катушки индуктивности и конденсатора. При воздействии на такую цепь переменного (гармонического) напряжения, через катушку и конденсатор будет протекать переменный ток, величина которого вычисляется по закону Ома: I = U / ХΣ , гдеХΣ - сумма реактивных сопротивлений последовательно включенных катушки и конденсатора (используется модуль суммы). Для освежения памяти, вспомним как зависят реактивные сопротивления конденсатора и катушки индуктивности от частоты приложенного переменного напряжения. Для катушки индуктивности, эта зависимость будет иметь вид:
Из формулы видно, что при увеличении частоты, реактивное сопротивление катушки индуктивности увеличивается. Для конденсатора зависимость его реактивного сопротивления от частоты будет выглядеть следующим образом:
В
отличии от индуктивности, у конденсатора
всё происходит наоборот - при увеличении
частоты, реактивное сопротивление
уменьшается. На следующем рисунке
графически представлены зависимости
реактивных сопротивлений катушки XL и
конденсатора ХC от
циклической (круговой) частоты ω,
а также график зависимости от частоты ω их
алгебраической суммы ХΣ.
График, по сути, показывает зависимость
от частоты общего реактивного сопротивления
последовательного колебательного
контура.
Из
графика видно, что на некоторой
частоте ω=ωр ,
на которой реактивные сопротивления
катушки и конденсатора равны по модулю
(равны по значению, но противоположны
по знаку), общее сопротивление цепи
обращается в ноль. На этой частоте в
цепи наблюдается максимум тока, который
ограничен только омическими потерями
в катушке индуктивности (т.е. активным
сопротивлением провода обмотки катушки)
и внутренним сопротивлением источника
тока (генератора). Такую частоту, при
которой наблюдается рассмотренное
явление, называемое в физике резонансом,
называют резонансной частотой или
собственной частотой колебаний цепи.
Также из графика видно, что на частотах,
ниже частоты резонанса реактивное
сопротивление последовательного
колебательного контура носит емкостной
характер, а на более высоких частотах
- индуктивный. Что касается самой
резонансной частоты, то она может быть
вычислена при помощи формулы Томсона,
которую мы можем вывести из формул
реактивных сопротивлений катушки
индуктивности и конденсатора, приравняв
их реактивные сопротивления друг к
другу:
На
рисунке справа, изображена эквивалентная
схема последовательного резонансного
контура с учетом омических потерь R,
подключенного к идеальному генератору
гармонического напряжения с амплитудой U.
Полное сопротивление (импеданс) такой
цепи определяется: Z
= √(R2+XΣ2),
где XΣ =
ω L-1/ωC.
На резонансной частоте, когда величины
реактивных сопротивлений катушки XL =
ωL и
конденсатора ХС=
1/ωС равны
по модулю, величина XΣ обращается
в нуль (следовательно, сопротивление
цепи чисто активное), а ток в цепи
определятся отношением амплитуды
напряжения генератора к сопротивлению
омических потерь: I=
U/R.
При этом на катушке и на конденсаторе,
в которых запасена реактивная электрическая
энергия, падает одинаковое напряжение UL =
UС =
IXL =
IXС.
На
любой другой частоте, отличной от
резонансной, напряжения на катушке и
конденсаторе неодинаковы - они определяются
амплитудой тока в цепи и величинами
модулей реактивных сопротивлений XL и XС.Поэтому
резонанс в последовательном колебательном
контуре принято называть резонансом
напряжений. Резонансной частотой контура
называют такую частоту, на которой
сопротивление контура имеет чисто
активный (резистивный) характер.Условие
резонанса - это равенство величин
реактивных сопротивлений катушки
индуктивности и ёмкости.
Одними из наиболее важных параметров колебательного контура (кроме, разумеется, резонансной частоты) являются его характеристическое (или волновое) сопротивление ρ и добротность контура Q. Характеристическим (волновым) сопротивлением контура ρназывается величина реактивного сопротивления емкости и индуктивности контура на резонансной частоте: ρ = ХL = ХC при ω =ωр . Характеристическое сопротивление может быть вычислено следующим образом: ρ = √(L/C). Характеристическое сопротивление ρявляется количественной мерой оценки энергии, запасенной реактивными элементами контура - катушкой (энергия магнитного поля) WL = (LI2)/2 и конденсатором (энергия электрического поля) WC=(CU2)/2. Отношение энергии, запасенной реактивными элементами контура, к энергии омических (резистивных) потерь за период принято называть добротностью Q контура, что в буквальном переводе с английского языка обозначает "качество". Добротность колебательного контура - характеристика, определяющая амплитуду и ширину АЧХ резонанса и показывающая, во сколько раз запасы энергии в контуре больше, чем потери энергии за один период колебаний. Добротность учитывает наличие активного сопротивления нагрузки R. Для последовательного колебательного контура в RLC цепях, в котором все три элемента включены последовательно, добротность вычисляется:
где R, L и C — сопротивление, индуктивность и ёмкость резонансной цепи, соответственно. Величину, обратную добротности d = 1 / Qназывают затуханием контура. Для определения добротности обычно пользуются формулой Q = ρ / R, где R-сопротивление омических потерь контура, характеризующее мощность резистивных (активных потерь) контура Р = I2R. Добротность реальных колебательных контуров, выполненных на дискретных катушках индуктивности и конденсаторах, составляет от нескольких единиц до сотни и более. Добротность различных колебательных систем, построенных на принципе пьезоэлектрических и других эффектов (например, кварцевые резонаторы) может достигать нескольких тысяч и более.
Частотные свойства различных цепей в технике принято оценивать с помощью амплитудно-частотных характеристик (АЧХ), при этом сами цепи рассматривают как четырёхполюсники. На рисунках ниже представлены два простейших четырехполюсника, содержащих последовательный колебательный контур и АЧХ этих цепей, которые приведены (показаны сплошными линями). По вертикальной оси графиков АЧХ отложена величина коэффициента передачи цепи по напряжению К, показывающая отношение выходного напряжения цепи к входному.
Для пассивных цепей (т.е. не содержащих усилительных элементов и источников энергии), величина К никогда не превышает единицу. Сопротивление переменному току изображённой на рисунке цепи, будет минимально при частоте воздействия, равной резонансной частоте контура. В этом случае коэффициент передачи цепи близок к единице (определяется омическими потерями в контуре). На частотах, сильно отличающихся от резонансной, сопротивление контура переменному току достаточно велико, а следовательно, и коэффициент передачи цепи будет падать практически до нуля.
При резонансе в этой цепи, источник входного сигнала оказывается фактически замкнутым накоротко малым сопротивлением контура, благодаря чему коэффициент передачи такой цепи на резонансной частоте падает практически до нуля (опять-таки в силу наличия конечного сопротивления потерь). Наоборот, при частотах входного воздействия, значительно отстоящих от резонансной, коэффициент передачи цепи оказывается близким к единице. Свойство колебательного контура в значительной степени изменять коэффициент передачи на частотах, близких к резонансной, широко используется на практике, когда требуется выделить сигнал с конкретной частотой из множества ненужных сигналов, расположенных на других частотах. Так, в любом радиоприемнике при помощи колебательных цепей обеспечивается настройка на частоту нужной радиостанции. Свойство колебательного контура выделять из множества частот одну принято называть селективностью или избирательностью. При этом интенсивность изменения коэффициента передачи цепи при отстройке частоты воздействия от резонанса принято оценивать при помощи параметра, называемого полосой пропускания. За полосу пропускания принимается диапазон частот, в пределах которого уменьшение (или увеличение - в зависимости от вида цепи) коэффициента передачи относительно его значения на резонансной частоте, не превышает величины 0,7 (3дБ).
Пунктирными линиями на графиках показаны АЧХ точно таких же цепей, колебательные контуры которых имеют такие же резонансные частоты, как и для случая рассмотренного выше, но обладающие меньшей добротностью (например, катушка индуктивности намотана проводом, обладающим большим сопротивлением постоянному току). Как видно из рисунков, при этом расширяется полоса пропускания цепи и ухудшаются ее селективные (избирательные) свойства. Исходя из этого, при расчете и конструировании колебательных контуров нужно стремиться к повышению их добротности. Однако, в ряде случаев, добротность контура, наоборот, приходится занижать (например, включая последовательно с катушкой индуктивности резистор небольшой величины сопротивления), что позволяет избежать искажений широкополосных сигналов. Хотя, если на практике требуется выделить достаточно широкополосный сигнал, селективные цепи, как правило, строятся не на одиночных колебательных контурах, а на более сложных связанных (многоконтурных) колебательных системах, в т.ч. многозвенных фильтрах.
Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних сил, меняющихся во времени.
Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.
Наиболее
простой и содержательный пример
вынужденных колебаний можно получить
из рассмотрения гармонического
осциллятора и
вынуждающей силы, которая изменяется
по закону: 
.
Полное сопротивление контура, его составляющие и зависимость их от частоты – ДОДЕЛАТЬ111
Резонанс напряжений - резонанс, происходящий в последовательном колебательном контуре при его подключении к источнику напряжения, частота которого совпадает ссобственной частотой контура. Пусть имеется колебательный контур с частотой собственных колебаний f, и пусть внутри него работает генератор переменного тока такой же частоты f.
В начальный момент конденсатор контура разряжен, генератор не работает. После включения напряжение на генераторе начинает возрастать, заряжая конденсатор. Катушка в первое мгновение не пропускает ток из-за ЭДС самоиндукции. Напряжение на генераторе достигает максимума, заряжая до такого же напряжения конденсатор.
Далее: конденсатор начинает разряжаться на катушку. Напряжение на нем падает с такой же скоростью, с какой уменьшается напряжение на генераторе.
Далее: конденсатор разряжен до нуля, вся энергия электрического поля, имевшаяся в конденсаторе, перешла в энергию магнитного поля катушки. На клеммах генератора в этот момент напряжение нулевое.
Далее: так как магнитное поле не может существовать стационарно, оно начинает уменьшаться, пересекая витки катушки в обратном направлении. На выводах катушки появляется ЭДС индукции, которое начинает перезаряжать конденсатор. В цепи колебательного контура течет ток, только уже противоположно току заряда, так как витки пересекаются полем в обратном направлении. Обкладки конденсатора перезаряжаются зарядами, противоположными первоначальным. Одновременно растет напряжение на генераторе противоположного знака, причем с той же скоростью, с какой катушка заряжает конденсатор.)
Далее: катушка перезарядила конденсатор до максимального напряжения. Напряжение на генераторе к этому моменту тоже достигло максимального.
Возникла следующая ситуация. Конденсатор и генератор соединены последовательно и на обоих напряжение, равное напряжению генератора. При последовательном соединении источников питания их напряжения складываются.
Следовательно, в следующем полупериоде на катушку пойдет удвоенное напряжение (и от генератора, и от конденсатора), и колебания в контуре будут происходить при удвоенном напряжении на катушке.
В контурах с низкой добротностью напряжение на катушке будет ниже удвоенного, так как часть энергии будет рассеиваться (на излучение, на нагрев) и энергия конденсатора не перейдет полностью в энергию катушки). Соединены как бы последовательно генератор и часть конденсатора.
Признаки резонанса – ДОДЕЛАТЬ111
Резонанс (фр. resonance, от лат. resono - откликаюсь) - явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при совпадении частоты внешнего воздействия с некоторыми значениями (резонансными частотами), определяемыми свойствами системы.
F=1/(2π×√L×C), где
F - Резонансная частота, Гц)
L - Индуктивность, (Гн)
C - Ёмкость, (Ф)
Векторная диаграмма — графическое изображение меняющихся по закону синуса (косинуса) величин и соотношений между ними при помощи направленных отрезков — векторов. Векторные диаграммы широко применяются в электротехнике, акустике, оптике, теории колебаний и так далее.
Гармоническое (то есть синусоидальное) колебание может быть представлено графически в виде проекции на некоторую ось (обычно берут ось координат Оx) вектора, вращающегося с постоянной угловой скоростью ω. Длина вектора соответствует амплитуде, угол поворота относительно оси (Ox) - фазе.
Сумма (или разность) двух и более колебаний на векторной диаграмме представлена при этом (геометрической) суммой (или разностью) векторов этих колебаний. Мгновенное значение искомой величины определяется при этом проекцией вектора суммы на ось Оx, амплитуда - длиной этого вектора, а фаза - углом его поворота относительно Ox.
Векторные диаграммы можно считать вариантом (и иллюстрацией) представления колебаний в виде комплексных чисел. При таком сопоставлении ось Ox соответствует оси действительных чисел, а ось Oy - оси чисто мнимых чисел (положительный единичный вектор вдоль которой есть мнимая единица).
Тогда вектор длиной A, вращающийся в комплексной плоскости с постоянной угловой скоростью ω с начальным углом φ0 запишется как комплексное число
а его действительная часть
-есть гармоническое колебание с циклической частотой ω и начальной фазой φ0.
Хотя, как видно уже из вышесказанного, векторные диаграммы и комплексное представление колебаний теснейшим образом связаны и по сути представляют собой варианты или разные стороны одного и того же метода, они, тем не менее, обладают своими особенностями и могут применяться и по отдельности.
Метод векторных диаграмм может излагаться отдельно в курсах электротехники или элементарной физики, если по тем или иным причинам (обычно связанным с умеренным уровнем математической подготовки учащихся и недостатком времени) надо избежать использования комплексных чисел (в явном виде) вообще.
Метод комплексного представления (который при необходимости или желании может включать и графическое представление, что, правда, совершенно не обязательно и иногда излишне) вообще говоря более мощен, т.к. естественно включает в себя, например, составление и решение систем уравнений любой сложности, в то время как метод векторных диаграмм в чистом виде всё же ограничен задачами, подразумевающим суммирование, которое можно изобразить на одном чертеже.
Однако метод векторных диаграмм (в чистом виде или в качестве графической составляющей метода комплексного представления) - более нагляден, а значит в некоторых случаях потенциально более надежен (позволяет до некоторой степени избежать грубых случайных ошибок, которые могут встречаться при абстрактных алгебраических вычислениях) и позволяет в некоторых случаях достичь в каком-то смысле более глубокого понимания задачи.
Последовательный колебательный контур- Вопрос № 51
Коэффициентом мощности или cos φ электрической сети называется отношение активной мощности к полной мощности нагрузки расчетного участка.
cos φ = P/S, где:
cos φ – коэффициент мощности;
Р - активная мощность Вт;
S - полная мощность ВА;
Коэффициент мощности можно определить как расчетным путем, так и измерить специальными приборами. Только в том случае, когда нагрузка имеет исключительно активный характер, cos φ равен единице. В основном же, активная мощность меньше полной и поэтому коэффициент мощности меньше единицы.
Следует учитывать, что низкий коэффициент мощности потребителя приводит:
к необходимости увеличения полной мощности трансформаторов и электрических станций, а также к увеличению сечения питающих линий электропередач;
к понижению коэффициента полезного действия вырабатывающих и трансформирующих элементов цепи;
к увеличению потерь мощности и напряжения в проводах. При одних и тех же значениях мощности и напряжения уменьшение коэффициента мощности сопровождается увеличением тока в проводах, вследствие чего возрастают потери на нагрев, что, в свою очередь, приводит к падению напряжения в сети;
Чем меньше коэффициент мощности сети, тем менее загружена сеть активной мощностью и тем меньше коэффициент полезного действия использования сети. В связи с этим необходимо, чтобы как можно большую часть в полной мощности составляла именно активная мощность, а не реактивная, в этом случае коэффициент мощности будет ближе к единице.
Чтобы лучше понять данный вопрос, давайте рассмотрим причины низкого коэффициента мощности:
Недогрузка асинхронных электродвигателей. Потребляемая активная мощность уменьшается пропорционально нагрузке, а реактивная мощность изменяется меньше;
Неправильный выбор типа электродвигателя. Двигатели быстроходные и большой мощности имеют более высокий коэффициент мощности, чем тихоходные и маломощные;
Повышение напряжения в сети. Ведет к увеличению намагничивающего тока индуктивных потребителей реактивной составляющей полного тока;
Для увеличения коэффициента мощности можно:
изменить мощность и тип устанавливаемых электродвигателей;
увеличить загрузку электродвигателей в процессе работы;
уменьшить время работы в холостом режиме оборудования потребляющего индуктивную мощность;
установить установку компенсации реактивной мощности с конденсаторами производства «Нюкон»;
Коэффициент передачи (также коэффициент преобразования) — отношение напряжения на выходе той или иной системы, предназначенной для передачи электрических сигналов, к напряжению на входе. В частном случае, когда значения выходного и входного сигнала являются однородными, коэффициент передачи называют коэффициентом усиления. KП = UВЫХ/ UВХ. Коэффициент передачи часто выражают в логарифмическом виде, как 20 lg (UВЫХ / UВХ), дБ.
Добротность – ДОДЕЛАТЬ111
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) — функция, показывающая зависимость модуля некоторой комплекснозначной функции от частоты. Также может рассматриваться АЧХ других комплекснозначных функций частоты, например, спектральной плотности мощности сигнала.
Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) — частотная зависимость разности фаз между выходным и входным сигналами.
Для линейной электрической цепи, зависимость сдвига по фазе между гармоническими колебаниями на выходе и входе этой цепи от частоты гармонических колебаний на входе.
Часто ФЧХ используют для оценки фазовых искажений формы сложного сигнала, вызываемых неодинаковой задержкой во времени его отдельных гармонических составляющих при их прохождении по цепи
В теории управления ФЧХ звена определяется из равенства её тангенса отношению мнимой части АФЧХ к действительной:
Последовательный колебательный контур – Вопрос № 51
Расстройка – ДОДЕЛАТЬ111
Избирательностью называют свойство колебательного контура выделять колебания одной избранной частоты. Различные контуры обладают неодинаковой избирательностью. Дело в том, что если на контур воздействуют два сигнала, частоты которых близки, то он может оказаться не в состоянии разделить эти сигналы. Не следует думать, что колебательный контур увеличивает напряжение или ток только в случае точного совпадения его частоты с собственной частотой колебательного контура. Если частота источника, подключенного к контуру, незначительно отличается от резонансной частоты, то напряжение или ток этого источника все же будут увеличены контуром, хотя и в меньшей степени, чем при резонансе. Поэтому всякий колебательный контур выделяет в действительности не одну частоту, а целую полосу частот. Полоса частот, выделяемых колебательным контуром, называется полосой пропускания колебательного контура. Ширина полосы пропускания измеряется в герцах, килогерцах, мегагерцах. Она зависит от добротности колебательного контура: чем выше добротность, тем уже полоса пропускания. Ширину полосы пропускания можно подсчитать по следующей простой формуле. Понятно, что чем уже полоса пропускания, тем лучше избирательность контура, тем лучше он разделяет сигналы, имеющие близкие частоты, тем меньше воздействуют на него всевозможные помехи.
Если соединить последовательно электрический конденсатор и катушку индуктивности, то для синусоидального сигнала определенной частоты указанная схема будет демонстрировать нулевое реактивное сопротивление. Этот эффект называется резонансом колебательного контура, сама схема из конденсатора и индуктивности - последовательным колебательным контуром, а частота, на которой проявляется этот эффект - частотой резонанса.
Хотя и катушка индуктивности, и конденсатор имеют некоторое реактивное сопротивление, вместе они реактивного сопротивления не проявляют. Причина проста. Конденсатор и катушка накапливают и отдают энергию, но делают это по-разному. В тот момент, когда катушка накапливает энергию, конденсатор ее отдает, и наоборот. Конечно, этот эффект проявляется только для синусоидального сигнала, на определенной частоте, в установившемся режиме. Если частота сильно отличается от резонансной, то схема теряет свои чудесные качества и проявляет себя, как катушка и конденсатор. Если последовательный колебательный контур не был запитан, а теперь на него подали синусоидальный сигнал резонансной частоты, то сопротивление будет уменьшаться постепенно, по мере перехода контура в стационарный режим работы.
Если пропускать через последовательный колебательный контур синусоидальный электрический ток резонансной частоты, то падение напряжения на контуре будет равно нулю. Но падение напряжения на конденсаторе отдельно, индуктивности отдельно будет иметь место. Просто эти напряжения компенсируют друг друга в каждый момент времени. Напряжения на конденсаторе и катушке могут быть очень значительными. Одной из популярных ошибок при проектировании последовательного колебательного контура является неправильная оценка напряжения на конденсаторе. Напряжение может в разы, десятки, сотни раз превышать напряжение источника питания. На основе этого эффекта даже разработаны схемы повышающих преобразователей напряжения.
[Амплитудное значение напряжения на конденсаторе, В] = [Амплитудное значение силы тока через контур, А] * [ZC], где [ZC] = 1 / (2 * ПИ * [Частота сигнала, Гц] * [Емкость конденсатора, Ф])
Необходимо также обратить внимание, чтобы ток через последовательный контур не приводил к насыщению сердечника катушки индуктивности.
В схемотехнике последовательный колебательный контур применяется, если необходимо пропустить сигнал определенной частоты и отфильтровать все другие. Колебательные контуры бывают небольшие, рассчитанные на работу с небольшими токами и напряжениями, например, во входных и внутренних цепях радиоприемника. Но бывают и силовые, рассчитанные на большие токи и напряжения, например, в радиопередатчиках, силовых резонансных фильтрах и т. д.
54. Параллельный колебательный контур – Вопрос № 51
Метод активных и реактивных составляющих токов
Этот метод предусматривает использование схемы замещения с последовательным соединением элементов (рис 2.1). В данном случае три параллельные ветви рассматриваются как три отдельные неразветвлённые цепи, подключенные к одному источнику с напряжением U. Поэтому в начале расчёта определяем полные сопротивления ветвей:
Z1
= 
= 
=
3,61 Ом;
Z2
= 
= 
=
18,4 Ом;
Z3 = XL3 = 18 Ом.
Углы сдвига фаз между напряжениями и токами в ветвях определяются также по синусу (или тангенсу):
Резонанс токов Общая электротехника и электроника
Sinφ1 = -XC1 / Z1 = 3 / 3,61 = -0,831; φ1 = -56,2; Cosφ1 = 0,556;
Sinφ2 = -XC2 / Z2 = -12 / 18 = -0,652; φ2 = -40,7; Cosφ2 = 0,758;
Sinφ3 = 1; φ3 = 90; Cosφ3 = 0.
Затем можно определять токи в ветвях по закону Ома:
I1 = U / Z1 = 65 / 3,61 = 18 А.;
I2 = U / Z2 = 65 / 18,4 = 3,53 А.;
I3 = U / Z3 = 65 / 18 = 3,61 А.
Для определения тока в неразветвлённой части цепи нужно знать активные и реактивные составляющие токов в ветвях и неразветвленной части цепи:
Ia1 = I1 * Cosφ1 = 18 * 0,556 = 10 A;
Ip1 = I1 * Sinφ1 = 18 * (-0,83) = -14,9 A;
Ia2 = I2 * Cosφ2 = 3,53 * 0,758 = 2,68 A;
Ip2 = I2 * Sinφ2 = 3,53 * (-0,652) = -2,3 A;
Ip3 = I3 = 3,61 A.
Активная и реактивная составляющие тока в неразветвлённой части цепи:
Ia = Ia1 + Ia2 = 10 + 2,68 = 12,68 A;
IP = IP1 + IP2 + IP3 = –14,9 – 2,3 + 3,61 = -13,59 A.
Полный ток в неразветвлённой части цепи:
I
= 
= 
=
18,6 A.
Угол сдвига фаз на входе цепи:
Sinφ = IP / I = –13,59 / 18,6 = –0,7312; φ = -46,98; Cosφ = 0,6822.
Резонанс токов — резонанс, происходящий в параллельном колебательном контуре при его подключении к источнику. При Этом реактивные сопротивления катушки индуктивности и конденсатора должны быть равны - при таких условиях возникает резонанс... Поскольку резонанс будет происходить только при определенной частоте - то такой контур будет считаться фильром, который будет пропускать какую-то "одну" частоту и радерживать все остальные.
Применение -Высокодобротный колебательный контур оказывает току определенной частоты f значительное сопротивление. Вследствие чего явление резонанса токов используется в полосовых фильтрах как электрическая «пробка», задерживающая определенную частоту. -Так как току с частотой f оказывается значительное сопротивление, то и падение напряжения на контуре при частоте f будет максимальным. Это свойство контура получило название избирательность, оно используется в радиоприемниках для выделения сигнала конкретной радиостанции. -Колебательный контур, работающий в режиме резонанса токов, является одним из основных узлов электронных генераторов.
Признаки резонанса – ДОДЕЛАТЬ111
Резонанс возникает на определённой частоте, когда индуктивная и ёмкостная составляющие реакции системы уравновешены, что позволяет энергии циркулировать между магнитным полем индуктивного элемента и электрическим полем конденсатора.
Механизм резонанса заключается в том, что магнитное поле индуктивности генерирует электрический ток, заряжающий конденсатор, а разрядка конденсатора создаёт магнитное поле в индуктивности — процесс, который повторяется многократно, по аналогии с механическим маятником.
Электрическое устройство, состоящее из ёмкости и индуктивности, называется колебательным контуром. Элементы колебательного контура могут быть включены как последовательно, так и параллельно. При достижении резонанса, импеданс последовательно соединённых индуктивности и ёмкости минимален, а при параллельном включении — максимален. Резонансные процессы в колебательных контурах используются в элементах настройки, электрических фильтрах. Частота, на которой происходит резонанс, определяется величинами (номиналами) используемых элементов. В то же время, резонанс может быть и вреден, если он возникает в неожиданном месте по причине повреждения, недостаточно качественного проектирования или производства электронного устройства. Такой резонанс может вызывать паразитный шум, искажения сигнала, и даже повреждение компонентов.
Приняв, что в момент резонанса индуктивная и ёмкостная составляющие импеданса равны, резонансную частоту можно найти из выражения
,
где 
;
f — резонансная частота в герцах; L —
индуктивность в генри;
C — ёмкость в фарадах.
Важно, что в реальных системах понятие
резонансной частоты неразрывно связано
с полосой
пропускания,
то есть диапазоном частот, в котором
реакция системы мало отличается от
реакции на резонансной частоте. Ширина
полосы пропускания определяется
добротностью
системы.
Векторная диаграмма — графическое изображение меняющихся по закону синуса (косинуса) величин и соотношений между ними при помощи направленных отрезков — векторов. Векторные диаграммы широко применяются в электротехнике, акустике, оптике, теории колебаний и так далее.
Гармоническое (то есть синусоидальное) колебание может быть представлено графически в виде проекции на некоторую ось (обычно берут ось координат Оx) вектора, вращающегося с постоянной угловой скоростью ω. Длина вектора соответствует амплитуде, угол поворота относительно оси (Ox) - фазе.
Сумма (или разность) двух и более колебаний на векторной диаграмме представлена при этом (геометрической) суммой[1] (или разностью) векторов этих колебаний. Мгновенное значение искомой величины определяется при этом проекцией вектора суммы на ось Оx, амплитуда - длиной этого вектора, а фаза - углом его поворота относительно Ox.
55. Параллельный колебательный контур – Вопрос № 51
Полное эквивалентное сопротивление контура при резонансе и при расстройках, его активная и реактивная составляющие. – ДОДЕЛАТЬ111
Эквивалентная добротность параллельного контура с учётом влияния внутреннего сопротивления генератора – ДОДЕЛАТЬ111
56. Параллельный колебательный контур – Вопрос № 51
Амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики параллельного контура – Вопрос № 52
Во время передачи тех или иных сигналов ток высокой частоты в антенне радиопередатчика состоит из нескольких токов различной частоты. Такой же сложный характер имеют электромагнитные волны, распространяющиеся от антенны передатчика, и токи, возникающие под действием радиоволн в приемной антенне. Для каждого вида передачи (радиотелефония, радиотелеграфия, телевизионная передача и т. д.) частоты этих токов занимают определенную полосу. При радиовещании на средних волнах она составляет примерно 9 кгц, т. е. радиовещательный передатчик создает сложный ток, состоящий из нескольких токов, у которых наиболее высокая частота на 9 кгц больше наиболее низкой частоты. Например, для радиовещательного передатчика, работающего на частоте 173 кгц (ламбда =1734 м), это будут частоты от 168,5 до 177,5 кгц. В случае служебной радиотелефонной связи полоса частот не больше 2 - 2,5 кгц, а для радиотелеграфной передачи она еще меньше. Зато при телевизионной передаче полоса частот расширяется до нескольких мегагерц. При воздействии на контур электродвижущих сил различной частоты наиболее сильные колебания получаются в случае, когда эде имеет резонансную частоту или частоту, близкую к ней. А при значительном отклонении частоты внешней эде от резонансного значения, т. е. когда контур расстроен относительно частоты внешней эде, амплитуда колебаний получается сравнительно малой. Можно сказать, что каждый контур хорошо пропускает колебания в пределах некоторой полосы частот, располагающейся по обе стороны от резонансной частоты. Ее называют полосой пропускания контура Ппр и условно определяют по резонансной кривой на уровне 0,7 от максимального значения тока или напряжения, соответствующего резонансной частоте (рис.1).
Рис.1 - Полоса пропускания контура
Иначе говоря, считают, что контур хорошо пропускает колебания тогда, когда их амплитуда уменьшается не более, чем на 30% по сравнению с амплитудой при резонансе. Полосу пропускания контура иногда называют также шириной кривой резонанса. Качество контура влияет на форму резонансной кривой. Из этого рисунка видно, что чем ниже качество контура, тем больше его полоса пропускания. Кроме того, полоса пропускания получается больше при более высокой резонансной частоте контура. Зависимость полосы пропускания контура от его затухания или добротности Q дается следующей простой формулой
Например, контур, настроенный на частоту fо = 2000 кгц и обладающий затуханием (сигма) = 0,01, имеет полосу пропускания Ппр =0,01 * 2000 = 20 кгц. Как видно, для получения узкой полосы пропускания необходимо применять контур с высокой добротностью, а для широкой полокую добротность, либо работать на весьма высокой резонансной частоте. Из приведенной формулы следует, что fo = Q * Ппp. Так как у контура среднего качества Q не менее 20, то рабочая частота должна не менее, чем в 20 раз, превышать полосу пропускания. Например, телевизионную передачу, для которой Ппр составляет несколько мегагерц, нужно вести на частотах не ниже нескольких десятков мегагерц, т.е. на ультракоротких волнах. Желательно, чтобы контур имел полосу пропускания соответствующую полосе частот, которая характерна для данного вида передачи. Если полоса пропускания меньше, то получатся искажения за счет плохого пропускания некоторых колебаний. Более широкая полоса нежелательна, так как могут быть помехи от сигналов радиостанций, работающих на соседних частотах. Если необходима широкая полоса пропускания, то приходится часто применять контуры с низкой добротностью. Добротность контура снижается, а полоса пропускания увеличивается, если параллельно контуру присоединяют активное сопротивление R, называемое шунтирующим (рис.2). Действительно, переменное напряжение U, имеющееся на контуре, приложено к сопротивлению R и создает в нем ток. Следовательно, в этом сопротивлении будет расходоваться мощность. Чем меньше сопротивление R, тем больше в нем потери мощности и тем больше затухание контура. Если сопротивление R будет очень малым, то оно замкнет накоротко один из элементов контура (конденсатор на (рис.2 а) или весь контур (рис.2 б). Тогда контур вообще не сможет работать как колебательная система и проявлять свои резонансные свойства.
Рис.1 - Шунтирование контура активным сопротивлением
Шунтирование контура активным сопротивлением делают иногда специально с целью расширения полосы пропускания. Кроме того, подобное шунтирование существует вследствие того, что контур соединен с другими деталями и цепями. За счет этого происходит нежелательное ухудшение качества контура. Внутреннее сопротивление генератора, питающего параллельный контур, также влияет на добротность контура и его поласу пропускания. Это можно легко объяснить следующим образом. Пусть генератор в какой-то момент прекратил свое действие. Тогда колебания в контуре станут затухать, а внутреннее сопротивление генератора, присоединенного к контуру, будет играть роль шунтирующего сопротивления, увеличивающего затухание. Чем больше Ri генератора, тем слабее его влияние, а значит, кривая резонанса контура острее и его полоса пропускания меньше, т.е. резонансные свойства контура выражены резче. При малом Ri генератора добротность контура настолько снижается и полоса пропускания становится такой широкой, что резонансные свойства у контура практически отсутствуют. К подобному выводу о влиянии Ri генератора мы пришли уже ранее при рассмотрении работы параллельного контура.
Избирательность параллельного контура при различных внутренних сопротивлениях генератора – ДОДЕЛАТЬ111
57. Параллельный колебательный контур – Вопрос № 51
Автотрансформаторное (неполное) включение контура – ДОДЕЛАТЬ111
сли соединить последовательно электрический конденсатор и катушку индуктивности, то для синусоидального сигнала определенной частоты указанная схема будет демонстрировать нулевое реактивное сопротивление. Этот эффект называется резонансом колебательного контура, сама схема из конденсатора и индуктивности - последовательным колебательным контуром, а частота, на которой проявляется этот эффект - частотой резонанса.
Хотя и катушка индуктивности, и конденсатор имеют некоторое реактивное сопротивление, вместе они реактивного сопротивления не проявляют. Причина проста. Конденсатор и катушка накапливают и отдают энергию, но делают это по-разному. В тот момент, когда катушка накапливает энергию, конденсатор ее отдает, и наоборот. Конечно, этот эффект проявляется только для синусоидального сигнала, на определенной частоте, в установившемся режиме. Если частота сильно отличается от резонансной, то схема теряет свои чудесные качества и проявляет себя, как катушка и конденсатор. Если последовательный колебательный контур не был запитан, а теперь на него подали синусоидальный сигнал резонансной частоты, то сопротивление будет уменьшаться постепенно, по мере перехода контура в стационарный режим работы.
Если пропускать через последовательный колебательный контур синусоидальный электрический ток резонансной частоты, то падение напряжения на контуре будет равно нулю. Но падение напряжения на конденсаторе отдельно, индуктивности отдельно будет иметь место. Просто эти напряжения компенсируют друг друга в каждый момент времени. Напряжения на конденсаторе и катушке могут быть очень значительными. Одной из популярных ошибок при проектировании последовательного колебательного контура является неправильная оценка напряжения на конденсаторе. Напряжение может в разы, десятки, сотни раз превышать напряжение источника питания. На основе этого эффекта даже разработаны схемы повышающих преобразователей напряжения.
[Амплитудное значение напряжения на конденсаторе, В] = [Амплитудное значение силы тока через контур, А] * [ZC], где [ZC] = 1 / (2 * ПИ * [Частота сигнала, Гц] * [Емкость конденсатора, Ф])
Необходимо также обратить внимание, чтобы ток через последовательный контур не приводил к насыщению сердечника катушки индуктивности.
В схемотехнике последовательный колебательный контур применяется, если необходимо пропустить сигнал определенной частоты и отфильтровать все другие. Колебательные контуры бывают небольшие, рассчитанные на работу с небольшими токами и напряжениями, например, во входных и внутренних цепях радиоприемника. Но бывают и силовые, рассчитанные на большие токи и напряжения, например, в радиопередатчиках, силовых резонансных фильтрах и т. д.
58. Связанные контуры используются в резонансных усилителях приемно-пере-дающих устройств. Наибольшее распространение получили двухконтурные системы, показанные на рис. 13.15 и 13.16. На них обозначено: Ui, Uo — напряжения на входе и выходе контуров; М — коэффициент взаимной индуктивности; Ro, Co, Lo — элементы связи; LI, Cl, Rl, L2, С2, R2 — элементы первого и второго контуров.
Одной
из важнейших характеристик связанных
контуров является коэффициент связи 
,
где К1 К2 — коэффициенты связи для первого
и второго контуров. Коэффициент связи
служит для количественной оценки
взаимного влияния контуров и в практических
конструкциях обычно существенно меньше
единицы.
Для схемы на рис. 13.15, а
Для схемы на рис. 13.15, б
Для схемы на рис. 13.15, е
Для схемы на рис. 13.16, а
Для схемы на рис. 13.16, б
Для схемы на рис. 13.16, в
В качестве объекта исследования выберем схему на рис. 13.15, в, которая с дополнительными элементами показана на рис. 13.17. Она дополнена резисторами R1 и R2, имитирующими активные сопротивления катушек индуктивности. Переключатель Z позволяет реализовать два режима: измерение АЧХ и ФЧХ (в положении переключателя, показанном на рисунке) и исследование прохождения AM сигналов через систему связанных контуров.
Параметры системы связанных контуров определятся коэффициентом связи, затуханием одиночного контура D (величина, обратная добротности) и резонансными частотами каждого контура. Поскольку для схемы на рис. 13.17 С1=С2=С, L1=L2=L, R1=R2=R, то эти параметры определяются с помощью выражений [58]:
Для связанных контуров характерным является наличие двух частот связи [58]
и 
Для схемы на рис. 13.17 расчеты по этим формулам при K=D=0,01 (режим критической связи) дают: F1=F2=F=3,17 кГц, т.е. частоты связи практически совпадают, а АЧХ (рис. 13.18, а) представляет собой одногорбую резонансную кривую.
Увеличим коэффициент связи, выбрав Со=1 нФ. Для этого случая параметры схемы имеют следующие расчетные значения: К=0,176; F=2,9 кГц; F1=2,7 кГц;
F2=3,18 кГц. Результаты моделирования приведены на рис. 13.18, б, откуда видно, что АЧХ при коэффициенте связи выше критического имеет двугорбый характер, соответствующий двум частотам связи, и отличается более крутыми скатами АЧХ при более широкой полосе пропускания, которая обычно определяется на уровне 0,707 (-3 дБ) и равна AF=F-D (F — резонансная частота). Анализ показывает [51, 58], что полоса пропускания связанных контуров при критической связи (K=D) составляет 1.41F-D и достигает максимального значения 3.1F-D при K=2,41D. Следует отметить, что при связи контуров ниже критической (K<D) полоса пропускания двухконтурной системы может быть меньше полосы пропускания одиночного контура. Так, например, при K=0,1D полоса пропускания составляет 0,65F-D. Это свойство связанных контуров часто используется на практике, когда требуется получить полосу пропускания уже полосы пропускания одиночного контура.
В заключение рассмотрим многоконтурную систему связанных контуров, используемую в качестве фильтра сосредоточенной селекции (ФСС) в каскаде преобразователя частоты многих радиоприемников. Анализ показывает [59], что наиболее эффективной (по критерию качество-стоимость) является 4-контурная система (рис. 13.19, а), представляющая собой набор из контуров двух типов: два крайних имеют увеличенную в два раза индуктивность и уменьшенную в два раза емкость по сравнению со средними двумя контурами, т.е. все четыре контура имеет одинаковую собственную резонансную частоту. Увеличение индуктивности двух крайних контуров
позволяет увеличить характеристическое сопротивление этих контуров
Такой выбор позволяет выравнять коэффициенты передачи всех контуров при включении на входе и выходе фильтра согласующих сопротивлений Rim и Rox, шунтирующих Rx крайних контуров. Однако такое конструктивное выполнение контуров, как будет показано ниже на практическом примере, не является обязательным. Заметим, что наибольшее влияние на форму АЧХ оказывает сопротивление Rox, поэтому в схеме использован переключатель Х для возможности оперативного исследования влияния этого сопротивления. Емкость конденсаторов связи Со выбирается, в зависимости от требуемой полосы пропускания, из необходимого соотношения коэффициента связи К и затухания D. Указанное на рис. 13.19, а значение емкостей Со, обеспечивающих связь выше критической, выбрано из соображения наглядности, чтобы показать основное преимущество рассматриваемого фильтра, заключающееся в обеспечении широкой полосы пропускания при достаточно крутых скатах резонансной кривой.
АЧХ фильтра при указанных на рис. 13.19, а параметрах показана на рис. 13.19, б. Из сравнения этой АЧХ с ранее полученными для двухконтурных систем (см. рис. 13.18) видно, что 4-контурная система имеет явно выраженную плоскую часть АЧХ. Однако такая гладкая вершина АЧХ достигается только при соответствующем выборе сопротивления согласующего резистора.
Следует отметить, что расчет многозвенных фильтров является достаточно сложной задачей. В работе [59] приводятся следующие соотношения для расчета параметров рассматриваемого фильтра:
—
требуемая
полоса; емкость — в пФ;
индуктивность — в мкГ; частота — в кГц; сопротивление — в кОм.
Два контура называются связанными, если колебания, происходящие в одном из них, захватывают другой контур. Связь между контурами может осуществляться через электрическое поле (благодаря емкости) или через магнитное поле (благодаря взаимоиндуктивности или индуктивности). На рис. 1 показаны три разновидности связи двух колебательных контуров: а) трансформаторная, когда связь между контурами осуществляется благодаря взаимоиндуктивности между катушками L1 и L2; б) автотрансформаторная, когда связь между контурами осуществляется непосредственно через индуктивность связи L1,2; в) емкостная, когда связь между контурами осуществляется через емкость связи С3. Наиболее часто в радиотехнике применяется трансформаторная связь, поэтому все дальнейшие выкладки проведем для этого вида связи.
Рис. 1. Виды связи двух колебательных контуров
Предположим, что в первом контуре на рис.1, а протекает ток i1, а второй контур разомкнут. Тогда отношение напряжения, индуцированного в катушке L2, к напряжению в катушке L1 выразится коэффициентом
который называется степенью связи. Аналогично, если предположить разомкнутым первый контур, а источник э.д.с. подключить ко второму контуру, то при протекании в нем тока i2 получим
Коэффициент
связи есть корень квадратный из
произведения степеней связи 
.
(1)
При
трансформаторной связи 
.
(2)
Если умножить числитель и знаменатель (2) на w, то получим общее выражение для коэффициента связи, пригодное и для других видов связи
(3)
где XM - сопротивление связи.