Ранг терма r определяется количеством переменных, входящих в данный терм.
Минтермы и макстермы ФАЛ от n переменных имеют максимально возможный ранг, равный n.
Элементарные конъюнкция и дизъюнкция — это те конъюнкции и дизъюнкции, в которых каждая логическая переменная встречается не более 1 раза (в виде основной логической переменной либо ее отрицания).
Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) - это дизъюнктивное объединение элементарных конъюнкций различных рангов, включая ранг равный единице.
Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) - это конъюнктивное объединение элементарных конъюнкций различных рангов, включая ранг равный единице.
Повышение ранга ДНФ и КНФ
a = a&b v a&^b
f(x,y,z) = x&y&z v ^x&^z = x&y&z v ^x&y&^z v ^x&^y&^z
a = (a v b)&(a v ^b)
f(x,y,z) = (x v y v ^z) & (x v ^y) = (x v y v ^z) & ( x v ^y v z) & (x v ^y v ^z)
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Логические функции называются эквивалентными (равнозначными), если они принимают одинаковые значения на всех наборах переменных.
Правило деМоргана
|
|
|
|
х1 х2 ... хn |
|
|
|
x1 & x2 & ... & xn = |
|||
|
|
|
|
х1 & х2 & ...& хn |
|
|
|
x1 v x2 v ... v xn = |
|||
xy V x y = x |
|
|
– операция склеивания |
||
xy V x y = x V xy V x y |
– операция неполного склеивания |
||||
x V xy = x |
|
– операция поглощения |
|||
Полнота системы логических функций
Булева функция может быть представлена суперпозицией некоторого набора функций { f1, f2, ... fn }/
Система элементарных логических функций f1 . . . fm
называется полной, если любую ФАЛ можно изобразить в виде суперпозиции (совокупности) функций f1 . . . fn.
Теорема. Пусть даны две системы логических функций:
|
F = {f1, f2, ... , fn} |
(1) |
и |
G = {g1, g2, ..., gm} |
(2). |
Если |
система (1) полна и |
каждая её функция может быть |
выражена как суперпоозиция функций системы (2), тогда система (2) является полной.
Пример. Известно, система функций {И, ИЛИ, НЕ} является функционально полной (СДНФ, СКНФ).
Отсюда следует. что система ФАЛ, состоящая из одной функции «Штрих Шеффера», также функционально полна, так как:
хx/х
x v y = x v y = х & y = (x/x) & (y /y) = (x /x) / (y / y)
x & y = x & y = x / y = (x /y) / (x / y)
Правила перехода от представления ФАЛ в виде ДНФ
кфункции, представленной в базисе «Штрих Шеффера»:
•если в ДНФ есть элементарные конъюнкции, имеющие ранг 1, то
повысить их ранг путём выполнения эквивалентного преобразования: a = a &a или a = a &1;
•в полученной ДНФ заменить все операции дизъюнкции и конъюнкции операциями «Штрих Шеффера»;
•группы букв, соответствующие дизъюнктивным членам (эле ментарным конъюнкциям), заключить в скобки.
Правила перехода от представления ФАЛ в виде КНФ
кфункции, представленной в базисе «Стрелка Пирса»:
•если в КНФ есть элементарные конъюнкции, имеющие ранг 1, то
повысить их ранг путём выполнения эквивалентного преобразования: a = a v a или a = a v 0;
•в полученной КНФ заменить все операции дизъюнкции и конъюнкции операциями «Стрелка Пирса»;
•группы букв, соответствующие конъюнктивным членам (эле ментарным дизъюнкциям), заключить в скобки.
Свойства логических функций
Переключательной функцией, сохраняющей нуль - называется функция, которая на нулевом наборе аргументов т.е. на наборе (0, 0, ..., 0, 0) равна нулю. Для переключательных функций, сохраняющих нуль, выполняется условие: f ( 0, 0, ..., 0, 0 ) = 0.
Переключательной функцией, сохраняющей единицу - называется функция, которая на единичном наборе аргументов т.е. на наборе (1, 1, ..., 1, 1) равна единице. Для переключательных функций, сохраняющих единицу, выполняется условие: f ( 1, 1, ..., 1, 1 ) = 1.
При определении самодвойственности переключательной функции используется понятие противоположных наборов. Два набора аргументов называются противоположными, если все значения аргументов одного набора противоположны значениям аргументов другого набора. Чтобы получить противоположный набор, достаточно заменить в данном наборе нули единицами, а единицы нулями. Для функции трех аргументов следующие пары наборов являются противоположными:
000 и 111; 001 и 110; 010 и 101; 011 и 100.
Вобщем виде два противоположных набора записываются в виде (x1, x2, ..., xn)
и(x1,x2,...,xn )
Переключательная функция n переменных f* (x1, x2, ..., xn) называется
двойственной к функции f (x1, x2, ..., xn) , если имеет место равенство : f* (x1, x2, ..., xn) = f (x1,x2,...,xn )
Например, для функции дизъюнкции f (x1, x2) = x1 v x2 двойственной будет функция конъюнкции f* (x1, x2) = x1· x2.