Минимизация логических функций

Определение: Преобразование логических функций с целью упрощения их аналитического представления называются минимизацией.

Дизъюнктивная нормальная форма называется минимальной, если

она содержит наименьшее число букв среди всех ДНФ, эквивалентных ей.

Методы минимизации:

1.Метод непосредственных преобразований логических функций.

2.Метод неопределенных коэффициентов.

3.Аналитические методы (метод Квайна, метод Квайна – Мак-Класки)

4.Метод минимизирующих карт (карты Карно, диаграммы Вейча)

Если некоторая логическая функция φ (в частном случае элементарное произведение) равна нулю на тех же наборах, на которых равняется нулю другая функция f, то говорят, что функция φ входит в функцию f. Другими словами, функция φ входит в функцию f тогда, когда она накрывает нулями все нули функции f, а единицы функции f могут быть накрыты как нулями, так и единицами функции φ.

Очевидно, что «Константа ноль» входит во все функции, а в «Константу единица» входят все функции.

Функцию φ, входящую в данную функцию f, называют ее импликантой.

Простыми (первичными) импликантами логической функции f называют такие элементарные произведения или элементарные суммы, которые сами входят в данную функцию, но никакая собственная часть этих произведений не входит в функцию f.

Собственной частью называют произведение, полученное путем исключения из данного произведения одного или нескольких сомножителей.

Дизъюнкция всех простых импликант называется сокращенной дизъюнктивной нормальной формой (СкДНФ) логической функции.

Теорема. Любая логическая функция представима и при том однозначно в виде сокращенной ДНФ.

Тупиковой ДНФ называется дизъюнкция простых импликант, ни одну из которых из выражения функции исключить нельзя. Некоторые функции имеют несколько тупиковых форм.

Тупиковые формы, содержащие наименьшее количество букв, будут

минимальными.

Таким образом, определенные выше ДНФ − сокращенная, тупиковая и минимальная находятся в следующем соотношении. Тупиковая ДНФ получается из сокращенной путем удаления некоторых слагаемых. Минимальная ДНФ находится среди тупиковых.

Метод получения сокращенной дизъюнктивной нормальной формы логической функции называется методом Квайна.

Теорема Квайна. Если в совершенной дизъюнктивной нормальной форме логической функции провести все операции неполного склеивания и затем все операции поглощения, то в результате получается сокращенная дизъюнктивная нормальная форма этой функции.

Два терма, отличающихся только одной переменной (в одном она имеет отрицание, а в другом - нет) называются соседними.

Для начала преобразования по методу Квайна функция должна быть представлена в совершенной нормальной форме.

Этапы преобразования ФАЛ по методу Квайна :

•Провести в СДНФ функции все возможные операции неполного склеивания конституент единицы. В результате этого образуются произведения, содержащие (n - 1) букв. Подчеркнем, что склеиваться могут только произведения с одинаковым числом букв.

•Выполнить операцию поглощения.

•Выполнить все возможные операции неполного склеивания членов с (n - 1) буквой.

•После этого проводится поглощение членов с (n - 1) буквой и вновь выполняется операция неполного склеивания членов с числом букв, равным (n - 2),

•и т.д. Эта процедура проводится до тех пор, пока не останется ни одного члена, допускающего поглощение с каким-либо другим термом. Термы, подвергшиеся поглощению, отмечаются. Неотмеченные термы представляют собой первичные импликанты.

Пример. Минимизировать функцию, заданную в СДНФ:

Для поиска тупиковых форм функции пользуются методом

импликантных матриц.

Существо метода заключается в следующем: составляется импликантная матрица, колонки которой именуются конституентами единицы, а строки – простыми импликантами. В ячейку таблицы ставится какой-либо отличительный символ, например " + ", если первичная импликанта, стоящая в заголовке строки, является собственной частью конституэнты единицы, стоящей в заголовке столбца. В противном случае ячейка остается пустой:

Импликантная матрица