Штрих Шеффера (И-НЕ)
Х |
Y |
X / Y |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Свойства:
0/0 = 1 0/1 = 1 1/1 = 0 0/x = 1 1/x = х x/y = y/x
x/(y/z) (x/y)/z
Стрелка Пирса (ИЛИ-НЕ)
Х |
Y |
X ↓ Y |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Свойства:
0↓0 = 1 0↓1 = 0 1↓1 = 0 0↓x = х 1↓x = 0 x y=y x
x↓(y↓z) (x↓y)↓z
Неравнозначность (сумма по mod2)
Х |
Y |
X Y |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Свойства:
00 = 0
01 = 1
1 1 = 0
0x = x
1 x = х
x y = y x
x y z = (x y) z
Представление логической функции в виде совершенных нормальных форм
Функция Fi, определяемая как
|
1, если номер набора равен i |
Fi |
0, если номер набора не равен i |
|
называется конъюнктивным термом.
Конъюнктивный |
терм, или минтерм, или конституэнта |
единицы —связывает |
все переменные, представленные в |
прямой или инверсной форме, знаком конъюнкции.
Номер
набора
0
1
2
3
4
5
6
7
X |
Y |
Z |
f(X.Y.Z) |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Минтермы функции
F0 |
F2 |
F5 |
F6 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Теорема 1. Любая функция алгебры логики (ФАЛ) может быть представлена аналитически в виде
f(x1 , x2, ... , xn) = F1\/F2\/...\/Fk = \/Fi ,
где i — номера наборов, на которых функция равна 1; V — знак дизъюнкции,
объединяющий все термы Fi , равные единице, k — количество наборов, для которых F = 1.
f(x.y.z) = V(0,2,5,6) = F |
\/ F |
\/ F |
\/F = |
& y & z x & y & z x |
& y & z x & y & z |
|||||||||
0 |
2 |
5 |
6 x |
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0
Теорема 1. Любая функция алгебры логики (ФАЛ) может быть представлена аналитически в виде
f(x1 , x2, ... , xn) = F1\/F2\/...\/Fk = \/Fi ,
где i — номера наборов, на которых функция равна 1; V — знак дизъюнкции, объединяющий все термы Fi , равные единице, k — количество наборов, для которых F = 1.
Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) некоторой логической функции называется дизъюнкция всех конституэнт единицы этой ФАЛ. Любую ФАЛ, кроме константы «ноль», можно представить в виде СДНФ. Любая ФАЛ имеет единственную СДНФ с точностью до перестановки её членов.
Основные свойства СДНФ:
•в СДНФ нет двух одинаковых минтермов;
•в СДНФ ни один минтерм не содержит двух одинаковых переменных;
•в СДНФ ни один минтерм не содержит вместе с переменной и её отрицание.
Функция Фi, определяемая как
0, если номер набора равен i
i 1, если номер набора не равен i
называется дизъюнктивным термом.
Дизъюнктивный терм, или макстерм, или
конституэнта нуля связывает все переменные, представленные в прямой или инверсной форме, знаком дизъюнкции.
Номер
набора
0
1
2
3
4
5
6
7
X |
Y |
Z |
f(X.Y.Z) |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Макстермы функции
Ф1 |
Ф3 |
Ф4 |
Ф7 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Теорема 2. Любая ФАЛ может быть представлена аналитически в виде f(x1 , x2, ... , xn) = Ф1 & Ф2 & ... & Фk = & Фi ,
где i — номера наборов, на которых функция равна 1; & — знак конъюнкции, объединяющий все термы Фi , равные нулю, k — количество наборов, для которых Ф = 0.
Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) некоторой логической функции называется конъюнкция всех конституэнт нуля этой ФАЛ. Любую ФАЛ, кроме константы «единица», можно представить в виде СКНФ. Любая ФАЛ имеет единственную СКНФ с точностью до перестановки её членов.
Основные свойства СКНФ:
•в СКНФ нет двух одинаковых макстермов;
•в СКНФ ни один макстерм не содержит двух одинаковых переменных;
•в СКНФ ни один макстерм не содержит вместе с переменной и её отрицание.