ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ЭВМ
1
Основные определения математической логики
Высказыванием называется утверждение, о котором можно определенно сказать, истинно оно или ложно. Высказываний одновременно истинных и ложных не бывает.
Высказывания бывают простыми и сложными. Простые отдельные высказывания - это логические переменные, их принято обозначать буквами латинского алфавита. Например, если простое высказывание X истинно, то X = 1, если же ложно, то X = 0.
Логическая (булева) переменная - эта такая величина x, которая
может принимать только два значения: «Истина» или «Ложь». |
|
|||||
Функция |
f(x1, |
x2, |
..., |
xn) |
называется |
логической |
(переключательной), или булевой, если она, так же как и ее аргументы xi, может принимать только два значения: «Истина» или «Ложь».
Логические функции могут быть описаны различными способами:
-в виде таблицы истинности; -совершенными нормальными формами: -в виде формулы.
Таблица истинности указывает значение логической функции при всех значения наборов аргументов
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛОГИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ В ВИДЕ ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ
Таблица истинности указывает значение логической функции при всех значениях наборов аргументов.
Элементарные логические функции - это функции, содержащие не более одной логической операции
ВСЕ ВОЗМОЖНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Х
0
1
Наименование
функции
Обозначение
функции
f0 f1
0 0
0 1
Константа Тождественная "ноль" функция
f(x)=0 f(x)=x
f2
1
0
Отрицание
f(x)=^x f(x)= x
f3
1
1
Константа
"единица"
f(x)=1
Все возможные логические функции от двух переменных
|
Значение функции на |
|
||||
|
наборах логических |
|
||||
№ |
|
переменных |
|
Наименование |
||
x=0 |
x=1 |
x=0 |
x=1 |
|||
функции |
функции |
|||||
|
y=0 |
y=0 |
y=1 |
y=1 |
|
|
f0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Константа "ноль" |
|
f1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Конъюнкция |
|
f2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
Запрет по y |
|
f3 |
0 |
0 |
1 |
1 |
x |
|
f4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
Запрет по x |
|
f5 |
0 |
1 |
0 |
1 |
y |
|
f6 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Сумма по mod2 |
|
(неравнозначность) |
||||||
|
|
|
|
|
||
f7 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Дизъюнкция |
|
f8 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Стрелка Пирса (Вебба) |
|
f9 |
1 |
0 |
0 |
1 |
Равнозначность |
|
f10 |
1 |
0 |
1 |
0 |
Инверсия y |
|
f11 |
1 |
0 |
1 |
1 |
Импликация от y к x |
|
f12 |
1 |
1 |
0 |
0 |
Инверсия x |
|
f13 |
1 |
1 |
0 |
1 |
Импликация от х к y |
|
f14 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Штрих Шеффера |
|
Обозначение
функции
f(x,y)=0 f(x,y)=x&y f(x,y)=x y f(x,y)= x y f(x,y)=xy
x y f(x,y)=x y x f(x,y)=y
f(x,y)=x y
f(x,y)=xvy f(x,y)=x+y
f(x,y)=x y f(x,y)=x О y f(x,y)=x y f(x,y)=x∞y f(x,y)=^y f(x,y)= y
f(x,y)=y x f(x,y)=^x f(x,y)= x f(x,y)=x y f(x,y)=x/y
Все возможные логические функции от двух переменных
y X f0
f1
f2 f3 f4 f5
f6 f7 f8 f9
f10 f11 f12
f13 f14 f15
Значение функции на наборах
логических Наименование переменных функции 
0 
1 
0 
1 
0 0 1 1
0 |
0 |
0 |
0 |
Константа "ноль" |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
Конъюнкция |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
Запрет по y |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
x |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
Запрет по x |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
y |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
Сумма по mod2 |
|
(неравнозначность) |
|||||
0 |
1 |
1 |
1 |
Дизъюнкция |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
Стрелка Пирса |
|
(Вебба) |
|||||
|
|
|
|
||
1 |
0 |
0 |
1 |
Равнозначность |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
Инверсия y |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
Импликация от y к x |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
Инверсия x |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
Импликация от х к y |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
Штрих Шеффера |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
Константа "единица" |
Обозначение
функции
f(x,y)=0
f(x,y)=x&y f(x,y)=x y
f(x,y)= x y f(x,y)=xy
x y f(x,y)=x y x f(x,y)=y
f(x,y)=x y
f(x,y)=xvy
f(x,y)=x+y
f(x,y)=x y f(x,y)=x О y
f(x,y)=x y
f(x,y)=x∞y
f(x,y)=^y f(x,y)= y
f(x,y)=y x f(x,y)=^x f(x,y)= x
f(x,y)=x y f(x,y)=x/y f(x,y)=1
Все возможные логические функции от двух переменных
X Y |
f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 |
||||||||||
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
f1 f1 f1 f1 f1 f1
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
0 
1 
0 
1 
0 
1 
1 
1 
0 
0 
1 
1 
0 
0 
1 
1 
1 
1 
1 1 1 1 1 1
Общее количество функций от n переменных: 22п
0 & 0 = 0
0 & 1 = 0
1 & 1 = 1
0 & x = 0
1 & x = x
Конъюнкция
Х |
Y |
X&Y |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Свойства:
x & х = 0 x & x = x
x & x &...& x = x x & y = y & x
x & y & z = (x & y) & z = x & (y & z)
0 v 0 = 0
0 v 1 = 1
1 v 1 = 1
0 v x = x
1 v x = 1
Дизъюнкция
Х |
Y |
XvY |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Свойства:
x v х = 1 x v x = x
x v x v...v x = x x v y = y v x
x v y v z = (x v y) v z = x v (y v z)