Системы счисления
1
Система счисления — совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками.
Любая предназначенная для практического применения система счисления должна обеспечивать:
•возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин;
•единственность представления (каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина);
•простоту оперирования числами.
2
Типы систем счисления:
-позиционные,
-непозиционные.
Впозиционных системах счисления значение единицы цифры каждого разряда числа имеет постоянный вес. Этот вес определяется позицией, которую разряд занимает по отношению к запятой:
234,5610 = 2*102 + 3*103 + 4*104 + 5*10-1 + 6*10-2
3
Любая позиционная система счисления характеризуется основанием.
Основание (базис) p-ной позиционной системы счисления — количество знаков или символов, используе- мых для изображения числа в данной системе:
p=10 → {ai} = 0,1, …,9; p=2 → {ai} = 0,1;
p=5 → {ai} = 0,1,2.3.4;
P=16 → {ai} = 0,1, …,9,A,B,C.D,E,F; p=q → {ai} = 0,1.,…,q-1
Десятичное |
Эквиваленты в других системах счисления |
|||
|
|
|
|
|
число |
p = 2 |
p = 5 |
p = 8 |
p=16 |
0 |
0000 |
00 |
00 |
0 |
1 |
0001 |
01 |
01 |
1 |
2 |
0010 |
02 |
02 |
2 |
3 |
0011 |
03 |
03 |
3 |
4 |
0100 |
04 |
04 |
4 |
5 |
0101 |
10 |
05 |
5 |
6 |
0110 |
11 |
06 |
6 |
7 |
0111 |
12 |
07 |
7 |
8 |
1000 |
13 |
10 |
8 |
9 |
1001 |
14 |
11 |
9 |
10 |
1010 |
20 |
12 |
A |
11 |
1011 |
21 |
13 |
B |
12 |
1100 |
22 |
14 |
C |
13 |
1101 |
23 |
15 |
D |
14 |
1110 |
24 |
16 |
E |
15 |
1111 |
30 |
17 |
F |
16 |
10000 |
31 |
20 |
10 |
Для любой позиционной системы счисления справедливо, что основание
изображается числом 10 в своей системе. |
5 |
|
Способы представления чисел в ЭВМ
6
В общем виде число А в p-ной позиционной системе счисления представляется в виде:
A = an*pn+an-1*pn-1+…+a1*p1+a0*p0+a-1*p-1+a-2*p-2+…+a-m*p-m =
r
=p k * a i * p i
i 1
При k = Const получается число с фиксированной точкой:
k=0: правильная дробь – число с фиксированной запятой A = a-1*p-1+a-2*p-2+…+a-m*p-m
k=r: целое число – число с фиксированной точкой A = an*pn+an-1*pn-1+…+a1*p1+a0*p0
При k ≠ Const получается число с плавающей запятой.
Диапазон и точность представления чисел с фиксированной точкой
Для чисел с фиксированной запятой при т = 0
|
|
Зн 2-1 |
2-2 |
… 2-n |
|
|
|
n |
|
\----------------- n+1 ------------------/ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
X x i |
* 2 i |
( x 1 |
* 2 1 x 2 * |
2 2 |
... x n |
* 2 n ) |
|
i 1 |
|
|
|
что | X | макс = 0,1 ... 1 = 1—2-п, |
|||
Из этого выражения следует, |
|||||||
а модуль минимального числа, не равного нулю: | X | мин = 0,0 ...01 = 2-п.
8
Для чисел с фиксированной точкой:
ЗН 2n-1 2n-2 |
… 20 |
|
|||
\----------------- |
|
n+1 |
------------------ |
/ |
|
X ( x n 1 * 2 n 1 |
|
x n 2 |
* 2 n 2 |
... x1 * 2 1 |
x 0 * 2 0 ) |
Из этого выражения следует, что | X | макс = 0,1 ... 1 = 2п-1,
а модуль минимального числа, не равного нулю: | X | мин = 0,0 ...01 = 20 = 1.
9
ПОГРЕШНОСТИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ
Абсолютная погрешность представления - разность между истинным значением входной величины А и ее значением, полученным из машинного изображения Ам, т.е.
∆[А] = А - Ам.
Относительная погрешность представления числа – отношение его абсолютной погрешности к самому числу:
δ [А] = ∆[А] / А
10