43. Задача минимизации риска портфеля: математическая постановка и графическая иллюстрация.

Задача минимизации риска при ограничении на ожидаемую доходность имеет вид: , , ,

– заданное минимально допустимое значение ожидаемой доходности.

Геометрически решение задачи минимизации риска выглядит следующим образом.

44. Задача максимизации полезности инвестора: математическая постановка и графическая иллюстрация.

Задача максимизации полезности инвестора имеет вид:

,

,

, .

Переменные в данной задаче – это доли , .

Функция полезности может иметь, например, следующий вид:

,

где – положительная константа, описывающая несклонность инвестора к риску.

45. Комбинации портфеля и безрискового актива: ожидаемая доходность, стандартное отклонение, множество инвест возможностей, коэффициент "тета".

Комбинация безрискового актива и фин актива - частный случай инвест портфеля, где , . ( ), , ( ). Последняя формула – это уравнение прямой в координатной плоскости , проходящей через точки и .

множество инвест возможностей комбинаций безрискового актива и финансового актива находится на прямой - рыночной линией капитала, которая зависит от актива ). Множество инвест возможностей комбинаций безрискового актива и всевозможных портфелей фин активов – это множество всех лучей , где принадлежит множеству инвест возможностей портфелей финансовых активов.

множество инвест возможностей комбинаций безрискового актива и всевозможных портфелей финансовых активов представляет собой угол, заключенный между самым верхним и самым нижним лучами, выходящими из точки проходящими (касающимися) через множество .

Эффективная граница множества инвестиционных возможностей комбинаций безрискового актива и портфелей фин активов – это самый верхний луч, выходящий из точки и проходящий через множество .

46 Оптимизация портфеля при наличии безрискового актива

М.7. Существует безрисковая ставка RQ, ПО которой инвесторы могут кредитовать и заимствовать произвольную сумму денег.

Будем полагать, что инвесторы формируют свои портфели сроком на один период владения на множестве активов, включающем N рисковых ценных бумаг и один безрисковый актив, одновременно решая задачу оптимального распределения капитала между рисковыми ценными бумагами. Прогнозные значения вектора ожидаемых доходностей активов и ковариационной матрицы доходностей активов для рассматриваемого периода равны: //=(///) и Е==Ет={а/,} (сг/рсг^О), причем матрица ? является положительно определенной.

Структура комбинированного портфеля инвестора задается величинами XQ, *Ь Х2, х^, которые удовлетворяют условию:

XQ + Х[ + Х2 +.. + Х]Ч = XQ + ^/=1,

где ЛГ=(х1, Х2, хуу)т - вектор, определяющий структуру рисковой части портфеля, a XQ—X-X^I И l-xo^A^/ - соответственно доли безрисковых и рисковых вложений инвестора.

Поскольку доходность безрискового актива — величина фиксированная (неслучайная), то ее дисперсия, а также кова-риация с доходностями других активов равна нулю.

Поэтому дисперсия доходности комбинированного портфеля активов обусловлена только присутствием в портфеле рисковых активов и определяется, как и ранее, по формуле

ар2 = Х*ЪХ. (5.36)

Если заданы значения безрисковой ставки RQ И ожидаемой (приемлемой для инвестора) доходности портфеля /ир, то структура оптимального в смысле подхода "доходность -риск" портфеля будет являться решением следующей задачи, известной как задача Тобина:

а) = ХТ?Х min, (5.37)

X^ju + (X-X^l)R0=MP. (5.38)

Данная задача, как и задача Марковица, допускает аналитическое решение с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа. Функционал Лагранжа при этом имеет вид:

Л(Х9Я) = Х^ЪХ + Я(Мр - Хтм -(1 - ХТ1) RQ), (5.39) где Я - неопределенный множитель Лагранжа.

Дифференцируя Л по X и приравнивая к нулю вектор производных, получаем:

2ЪХ-Я{/л -RQI) = 0, откуда с учетом (5.38) следует:

лг=0ц^)Е.1О/_ЛЬЛ) (540) gp

где g2P = (M-Rol)Tz-l(M-Rol)- (5-41)

229 Оптимальному портфелю со структурой (5.40) соответствует минимальный риск, который с учетом (5.36) равен:

ар =(Х*12Г)1/2=(Мр-Яо)/8р,

откуда следует, что характеристика gp допускает представление:

gp = (Mp - Ro)/*p>0, (5.42)

т.е. равна величине ожидаемой дополнительной доходности (премии за риск), приходящейся на единицу риска, и может интерпретироваться как цена единицы риска на рассматриваемом множестве (рынке) рисковых ценных бумаг. Представим (5.42) в виде:

Hp-Ro = gpОтсюда следует, что, чем выше цена риска gp, тем больше ожидаемая премия за риск, т.е. тем выгоднее вложения в данный портфель.

Характеристика gj = (//0 известна как отношение Шарпа (Sharpe ratio), или индекс Шарпа, и используется для оценки привлекательности произвольного рискового актива или портфеля D с характеристиками JU^CT^ Очевидно, данная характеристика принимает максимальное значение для эффективных портфелей

47. Максимизация полезности инвестора при наличии безрискового актива. Задача максимизации полезности инвестора имеет вид:

,

,

, .

Переменные в данной задаче – это доли , .

Функция полезности может иметь, например, следующий вид:

,

где – положительная константа, описывающая несклонность инвестора к риску.