36. Использование линейной модели вероятности для оценки кредитного риска

Линейная модель вероятности для оценки кредитного риска имеет вид:

, , (1) Где k - вид показателя, i – номер наблюдения,

- значение k-го финансового показателя для i-го наблюдения, , , , – коэффициенты регрессии, – случайное отклонение.

Показатели находятся с помощью финансовой отчетности заемщика, например:

, .

В модели предполагается, что для потенциального заемщика имеет место равенство, аналогичное равенствам (1), т.е.

, (2)

где - (известное) значение k-го показателя потенциального заемщика.

Заметим, что

. (3)

С другой стороны, как следует из равенства (2):

. (4)

Из равенств (3) и (4) вытекает, что

. (5)

С помощью значений и методом наименьших квадратов определяются оценки коэффициентов (т.е. решается задача: ).

Для потенциального заемщика строится прогнозное значение вероятности дефолта по формуле:

, (6)

Основным недостатком данной модели является то, что прогнозное значение вероятности дефолта может не принадлежать отрезку . Модели логит и пробит (которые мы рассмотрим ниже) позволяют избежать эту проблему.

(Как будет показано в следующем параграфе, в моделях логит и пробит где – функция, область значений которой – нтервал , и для потенциального заемщика прогнозное значение вероятности дефолта полагается равным .)

37 Использование моделей логит и пробит для оценки кредитного риска

В моделях логит и пробит предполагается, что для некоторого (ненаблюдаемого) показателя дефолта выполнены равенства , , (7) для известных наблюдений, и равенство (8)

для потенциального заемщика. Причем без ограничения общности можно считать, что стандартные отклонения случайных ошибок и равны 1. Обозначим через функцию распределения случайных ошибок и . В модели логит в качестве выступает функция логистического распределения: , (9) а в модели пробит – функция стандартного нормального распределения: .(10)

В моделях логит и пробит, считается, что (наблюдаемые) показатели дефолта и связаны с (ненаблюдаемыми) показателями и следующим образом:

(11)

(12)

Из (8) и (12) следует, что

(13)

Таким образом, (14) Заметим, что из (14) следует, что (15)

Отметим, что для (известных) наблюдений имеют место равенства, аналогичные (14) и (15), т.е.

(16)

(17)

Оценки коэффициентов определяются методом максимального правдоподобия.

В силу равенств (16) и (17) функция правдоподобия для моделей логит и пробит имеет вид:

. (18)

Легко показать, что формулу (18) можно записать в следующем виде:

. (19)

Оценки получаются в результате максимизации функции максимального правдоподобия по параметрам .Отметим, что максимизация функции правдоподобия эквивалентна максимизации логарифмической функции правдоподобия. (Напомним, что логарифмическая функция правдоподобия равна натуральному логарифму функции правдоподобия.) Найдем логарифмическую функцию правдоподобия для моделей логит и пробит.Прологарифмировав формулу (19), получим:

. (20)