32.Продолжительность портфеля облигаций (вывод формулы).

Поскольку портфель облигаций выплачивает последовательность платежей, продолжительность портфеля облигаций находится по формуле (12) главы 2, т.е. ,(1) где w_k – доля текущей стоимости k-го платежа портфеля в текущей стоимости портфеля, – срок выплаты k-го платежа портфеля, n – количество платежей портфеля. Докажем, что для продолжительности портфеля облигаций справедлива формула: , (2) где wⁱ – доля текущей стоимости облигаций i-го вида в текущей стоимости портфеля, – продолжительность облигации i-го вида, m – количество видов облигаций в портфеле. Введем следующие обозначения.

– количество облигаций i-го вида в портфеле, – текущая стоимость k-го платежа облигации i-го вида, – текущая стоимость облигации i-го вида, – текущая стоимость k-го платежа портфеля, – текущая стоимость портфеля, – доля текущей стоимости k-го платежа облигации i-го вида в текущей стоимости облигации i-го вида.

Очевидно, что имеют место следующие формулы:

, , , (3)

, , , . (4)

С учетом формул (3)-(4), имеем

Таким образом, мы доказали формулу (2).

33.Чувствительность текущей стоимости портфеля облигаций к изменению доходностей облигации.

Предположим, что ставка дисконтирования зависит только от вида облигации. Тогда для облигаций, входящих в портфель справедлива формула (13) главы 2: . Таким образом,

, . (7) Из (7) следует, что , .(8) Легко заметить, что . (9) Подставим (8) в (9): . (10)

Предположим, что не зависит от вида облигации . Тогда из (10) следует, что

. (11)

Разделив (11) на , получим: . (12) Итак, в случае, когда не зависит от вида облигации , для текущей стоимости портфеля облигаций имеет место формула (12). Замечание. Если в качестве ставок дисконтирования , , выступают доходности самих облигаций, то текущие стоимости облигаций , , равны ценам облигаций, а текущая стоимость портфеля облигаций равна рыночной стоимости портфеля облигаций.

34. Чувствительность собственного капитала финансовой организации к изменению доходностей облигаций.

Баланс фирмы состоит из активов и пассивов. Пассивы, в свою очередь, делятся на обязательства и собственный капитал. Обозначим активы, обязательства и собственный капитал через , и , соответственно.

Поскольку активы равны пассивам, то . Отсюда имеем : . (14)

Существуют два основных метода оценки активов и обязательств:

1. метод, основанный на исторической стоимости (book value), т.е. стоимости, по которой активы и обязательства были приобретены;

2. метод, основанный на рыночной стоимости (market value), т.е. рыночной стоимости активов и обязательств в текущий момент времени.

Мы будем использовать второй метод. Таким образом, будем считать, что – рыночная стоимость активов, – рыночная стоимость обязательств, – рыночная стоимость собственного капитала.

Будем считать, что активы и обязательства финансовой организации состоят из облигаций. (Под облигациями будем понимать любые финансовые инструменты с фиксированными платежами.) Таким образом, активы и обязательства представляют собой портфели облигаций. Предположим, что не зависит от вида облигаций, входящих в активы и обязательства. Тогда как для активов, так и для обязательств справедлива формула (12). Следовательно, , (15) , (16)

где – продолжительность активов, – продолжительность облигаций.

Из формул (15), (16) следует, что ,(17) . (18)

Из формулы (14) следует, что . (19)

Подставим (17) и (18) в (19): .(20)

Обозначим через отношение обязательств к активам: . (21) Коэффициент – это так называемый финансовый рычаг. С учетом (21) формула (20) примет вид: . (22) Из формулы (22) следует, что финансовая организация будет защищена от процентного риска, если . Поскольку этого чаще всего невозможно достичь, для защиты от процентного риска используют финансовые производные (опционы и фьючерсы).