11_Методи доведення теорем: синтетичний та аналітичний

Методи доведення:

• Синтетичний

• Аналітичний

• Від супротивного

• Метод повної індукції

• Метод математичної індукції

Синтетичний – це метод, в якому доведення йдуть від умови і вже відомого твердження, до доводжуваного.

Аналітичний – метод, при якому міркування йдуть від доводжуваного твердження до відомих (від тез до аргументів). Іноді цей метод називають методом Евкліда. Він не є строгим методом доведення і тому використавши аналітичний метод ми переходим до синтетичного методу.

12_Методи доведення теорем: від супротивного, математичної та повної індукції

Методи доведення:

• Синтетичний

• Аналітичний

• Від супротивного

• Метод повної індукції

• Метод математичної індукції

Доведення від супротивного (зведення до абсурду) — один із поширених методів доведення тверджень в математичній логіці. Метод грунтується на вірності формули в численні висловлень та законі подвійного заперечення. Припускаємо, що A є істиним твердженням, і доводимо, що, по-перше, з A виводиться B, а по-друге, що з A виводиться ¬B, що неможливо; отже, A невірно, тобто вірно ¬A.

Метод повної індукції : полягає в тому, що при доведенні теореми потрібно розбити її на скінченне число тверджень і довести кожне з цих тверджень окремо.

Метод математичної індукції : полягає в доведенні вірності твердження стосовно одного з натуральних чисел, а потім всіх наступних.

Принцип індукції полягає в тому, що нескінченна послідовність тверджень P_i, , вірна якщо:

1. P₁ — вірне

2. із вірності P_k випливає вірність P_{k + 1} для всіх k.

13_Роль математичних задач та їх функції

Математична задача – це будь-яка вимога обчислити, побудувати, довести або дослідити що-небуть, що стосується просторових форм чи кількісних відношень або запитання рівносильне такій вимозі.

Умова – це те, що дано.

Вимога – це те, що необхідно знайти.

Виділяють 3 ролі:

1. Слухачі вчаться застосовувати набуті теоретичні знання для практичних потреб

2. Розвивати мислення та просторову уяву

3. Сприяє виховання волі, наполегливості тощо.

Не варто відокремлювати вивчення теорії від розв’язування задач. Ці 2 види роботи повинні переплітатися і обумовлювати один одного.

На заняттях з математики, навчальний процес йде від задач до теорії і потім від теорії до задач.

Виникає проблемна ситуація:

Перехід від задачі до невивченої теорії характеризує характеризує проблемну ситуацію. Саме на задачах бажано підводити до доцільності вивчення теорії.

Перехід від теорії до задач характеризує застосування теорії.

Функції математикичних задач:

• навчальна – навчають, підводять до вивчення теорії, пов’язують теорію з практикою

• виховна – виховують кмітливість, культуру мови, графічну культуру, наполегливість

• розвиваюча – розвивають логічне мислення, просторову уяву, раціональні здібності

• контролююча – контролюють успішність

14_Види математичних задач: на обчислення, на побудову, на доведення, на дослідження.

Визначені та не визначені задачі.

1. На обчислення : у задачах на обчислення вимагається знайти число (кілька чисел) за певними числами та залежностями між ними, які дані в умові.

• текстові (геометричні) – містять текст

• приклади (рівняння) – задачі, умови яких записані за допомогою чисел, поданих цифрами або буквами та знаками дй, що показують, які дії і в якій послідовності потрібно виконувати над даними числами (рівняння, нерівності).

2. На побудову : геометричні задачі, в яких поставлено вимогу побудувати якусь геометричну фігуру, що задовільняє умові задачі

3. На доведення : задачі, в яких вимагається довести сформульоване в ній твердження, відрізняється від теореми лише ступенем важливості (доведення, тотожності)

4. На дослідження : задачі, в яких потрібно що-небуть дослідити.

Задача, яка має один розв’язок - визначена

Задача, яка має більше 2 розв’язків – не визначена