3.4. Особенности целевых функций при оптимизации регуляторов

Особенности целевых функций при оптимизации регуляторов состоят в том, что наличие многих локальных минимумов маловероятно. В большинстве практических случаев небольшие изменения коэффициентов регулятора приводят к небольшим изменениям переходных процессов и небольшим приращениям целевой функции, причем, можно указать определенные тенденции. Например, увеличение коэффициента пропорционального и (или)интегрального тракта, как правило, уменьшает ошибку, если система была далека от границы устойчивости, и, наоборот, увеличивает ошибку за счет нарушения запаса устойчивости, если система приближается к этой границе. Увеличение коэффициента дифференцирующего тракта может повысить запас устойчивости, если система близка к границе устойчивости, однако, положительное действие этого тракта ограничено, как правило, небольшим диапазоном значений других коэффициентов, поскольку при их излишне большом значении введение дифференцирования уже не может восстановить устойчивость.

Исключение из этого случая составляют такие системы, в которых область малого наклона логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) с обеих сторон окружена областью большого наклона этой характеристики. В этом случае система, неустойчивая при некоторых относительно малых коэффициентах регулятора может оказаться устойчивой при их увеличении. Такая ситуация, как правило, может быть выявлена каким-либо методом. В частности, можно рекомендовать начинать новую процедуру оптимизации с новых стартовых значений регуляторов, которые больше или меньше исходных на 20 – 60%.

Если существует локальный экстремум, то глобальный экстремум не может располагаться слишком далеко от этих значений (в логарифмическом масштабе), поскольку, если целевая функция достаточно обоснована, то локальный экстремум соответствует достаточно неплохому переходному процессу. Оптимальный регулятор с любых других позиций (соответствующий даже другим целевым функционалам) не может отличаться слишком сильно по этим коэффициентам. Действительно, уменьшение коэффициентов в общем случае вызывает затягивание переходного процесса, а чрезмерное увеличение коэффициентов нарушает устойчивость системы. Именно поэтому, как правило, существует оптимальная настройка, и именно поэтому все мыслимые оптимальные настройки не слишком сильно отличаются друг от друга.

Говорить о множестве оптимальных настроек можно лишь постольку, поскольку может быть принято множество не совпадающих целевых функционалов, а также потому, что значение целевого функционала может также зависеть от выбранного времени интегрирования T. Поэтому даже при одной и той же целевой функции при различных значениях T будем получать различные результаты.

Существуют стартовые значения, которые приводят к недопустимым значениям коэффициентов, например, к отрицательному коэффициенту дифференцирующего тракта. Порядок отображения неизвестных параметров, по которым происходит оптимизация, в общем случае тоже влияет на результат оптимизации, поскольку процедура оптимизации идет, начиная с первого коэффициента, заканчивая последним. Если найденный экстремум – глобальный, то порядок начертания этих параметров не должен влиять не результат.

Для того чтобы процедура быстрее сходилась, целесообразно после отыскания грубого приближения к экстремуму повысить точность отыскания оптимума (при работе с ПО VisSim следует уменьшить значение допустимой ошибки в настройках оптимизации). Иначе каждый новый запуск будет останавливаться на той точке, которая лучше достигнутого экстремума на ту величину, которая указана в качестве допустимой погрешности оптимизации.

Могут существовать такие точки, из которых движение далее идет поступательно по каким-то параметрам, но крайне медленно. Целесообразно в этом случае уменьшить допустимую погрешность или (и) увеличить предлагаемый шаг изменения параметров.

Могут существовать точки, вблизи которых движение неустойчиво, то есть параметры после каждого нового цикла получают приращения переменных знаков, то увеличиваются, то уменьшаются, при этом – незначительно. Повысить устойчивость процедуры оптимизации можно либо уменьшением допустимой погрешности, либо изменением алгоритма поиска «вглубь», то есть поиск значений коэффициентов между какими-то ранее исследованными значениями.

Вообще говоря, поиск «вовне», то есть такой поиск, при котором по меньшей мере один из коэффициентов увеличивается, принимая значения, больше всех ранее использованных значений, должен по алгоритму отличаться от поиска «вглубь». При поиске «вглубь» осуществляется интерполяция, а при поиске «вовне» - экстраполяция. Интерполяция при достаточно малом шаге корректна практически всегда, а экстраполяция почти всегда не достаточно обоснована. При интерполяции можно заранее указать, что ее шаг целесообразно уменьшать лишь до некоторых заранее известных пределов, после чего можно это изменение прекратить вследствие его несущественности. А экстраполяция корректна редко (практически, она корректна лишь при определении верхней границы погрешности, а во всех остальных случаях – некорректна). Поэтому и алгоритмы экстраполяции и интерполяции должны быть различны.

В алгоритмах, используемых в программе VisSim, это не учитывается, поэтому указанная программа приводит к отрицательным результатам процедуры оптимизации чаще, чем это могло бы быть, если эти особенности задачи были учтены в этих алгоритмах.

Другая особенность оптимизации коэффициентов ПИД-регулятора состоит в том, что точность этих коэффициентов заранее известна, и как правило, она не слишком высока. То есть, зачастую, эти коэффициенты достаточно знать с погрешностью не более 1%, редко – с погрешностью не более 0,1%, и практически никогда не требуется большая точность.

Если определены верхняя и нижняя граница каждого коэффициента, то с учетом ограниченной точности, поиск становится отысканием одного оптимального варианта настройки из счетного количества существующих вариантов. Задача отыскания экстремума для счетного количества решений может быть решена дополнительно и некоторыми другими методами, которые неприменимы к решению плавной задачи – в частности, перебором. Особенно сильно это проявляется при сильном приближении к экстремуму на последних этапах оптимизации. Это аналогично задаче поразрядного уравновешивания при работе АЦП на таком принципе.

Внесение в алгоритм процедуры, основанной на этой особенности, может сильно сократить время вычисления и повысить его эффективность. Действительно, например, метод наискорейшего спуска, основан на вычислении производных по аргументам, поэтому этот метод крайне плохо работает вблизи точки экстремума, где производная близка к нулю. Особенно плохо этот метод работает при наличии шумовых компонент целевой функции, например, при оптимизации регулятора с реальным объектом, а не с его виртуальной моделью. Система может совершить неоправданно большое количество поисков вблизи экстремума, совершая большое множество малых приращений, порождающих не слишком существенное изменение целевой функции. При этом значения параметров будут корректироваться, например, в пятом знаке, хотя известно, что физическая реализация коэффициента с такой точностью невозможна и неоправданна почти ни в одной практической задаче.