Экзаменационный билет № 12

1. Выведите правило Крамера решения систем линейных уравнений, используя взаимосвязь обратной и присоединенной матрицы.

2. Эллипса: основные характеристики и свойства. Выведите каноническое уравнение эллипса, используя его фокальное свойство.

3. Взаимосвязь линейных преобразований и матриц. Преобразования матрицы линейного преобразования при переходе к новому базису (вывод). Проиллюстрируйте это на примере матрицы линейного преобразования при переходе к новому базису e^₁=e₁+2e₂, e^₂=–2e₁+e₂.

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Утверждаю:	Кафедра высшей математики
зав. кафедрой	предмет: алгебра и аналитическая геометрия
___________200___г.	для ФЭФ, гр. М, Р, ФК, Э I курс

Экзаменационный билет № 13

1. Однородные системы линейных уравнений и свойства их решений (доказать). Может ли однородная система быть несовместной? Выпишите необходимое и достаточное условие нетривиальности однородной квадратной системы.

2. Гипербола: основные характеристики и свойства. Выведите каноническое уравнение гиперболы, используя ее фокальное свойство.

3. Преобразования декартовой системы координат. Взаимосвязь матрицы перехода от старого базиса к новому и матрицы преобразования координат (вывод). Найти координаты вектора x=(2;–4) в новом базисе {e^₁;e^₂}, если e^₁=e₁+2e₂, e^₂=–2e₁+e₂.

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Утверждаю:	Кафедра высшей математики
зав. кафедрой	предмет: алгебра и аналитическая геометрия
___________200___г.	для ФЭФ, гр. М, Р, ФК, Э I курс

Экзаменационный билет № 14

1. Решение матричных уравнений. Обратная матрица. Найдите X из матричного уравнения ABXCD=F, если A, B, C, D – невырожденные матрицы. Что изменится, если хотя бы одна из этих матриц окажется вырожденной? Чему равно выражение (5AA^–1–4A^–1A).

2. Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе (вывод). Что изменится, если базис будет не ортонормированным? Найти Пр_c(2a–3b), если a=–i+2j+3k, b=3i+j+k, c=4i+3j.

3. Классификация поверхностей 2-го порядка. Исследуйте методом сечений гиперболический параболоид и однополосный гиперболоид. Какие поверхности называются вырожденными? Приведите примеры.

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Утверждаю:	Кафедра высшей математики
зав. кафедрой	предмет: алгебра и аналитическая геометрия
___________200___г.	для ФЭФ, гр. М, Р, ФК, Э I курс

Экзаменационный билет № 15

1. Свойства определителей. Метод элементарных преобразований вычисления определителей. В чем преимущество этого метода по сравнению с методом понижения порядка? Свойства определителей. Используя свойства определителей, покажите =0.

2. Векторное произведение векторов в ортонормированном базисе (вывод).

3. Кривые второго порядка. Вырожденные и невырожденные кривые. Классификация невырожденных кривых 2-го порядка. Какие преобразования координат нужно сделать, чтобы избавится от смешанного произведения и от линейных членов?

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Утверждаю:	Кафедра высшей математики
зав. кафедрой	предмет: алгебра и аналитическая геометрия
___________200___г.	для ФЭФ, гр. М, Р, ФК, Э I курс