СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Утверждаю:	Кафедра высшей математики
зав. кафедрой	предмет: алгебра и аналитическая геометрия
___________200___г.	для ФЭФ, гр. М, Р, ФК, Э I курс

Экзаменационный билет № 1

1. Умножение матриц и его свойства. Для каких матриц выполняется равенство (A+B)²=A²+2AB+B²? Как изменится произведение матриц AB, если в матрице B поменять местами 1-й и 2-й столбец?

2. Общее уравнение прямой на плоскости: вывод и геометрический смысл коэффициентов. Покажите, что три прямые пересекаются в одной точке: 2x+y+1=0, x–y+2=0, 4x–y+5=0.

3. Что такое отображение и преобразование линейного пространства? Какие преобразования называются линейными? Взаимосвязь между линейными преобразованиями и матрицами. Укажите линейное преобразование и выпишите его матрицу: а) A x=(x₁+x₂+6, 5–x₂–x₃, x₃+1), б) A x=(6x₁+x₂, x₁–2x₂+4x₃, 3x₂–x₃), в) A x=(x₁²+x₂², x₂²–x₃², x₃²).

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Утверждаю:	Кафедра высшей математики
зав. кафедрой	предмет: алгебра и аналитическая геометрия
___________200___г.	для ФЭФ, гр. М, Р, ФК, Э I курс

Экзаменационный билет № 2

1. Обратная матрица. Определение и свойства. Необходимое и достаточное условия существования матрицы. Найти матрицу X из матричного уравнения ABXC=D, если A,B,C – невырожденные матрицы. Чему равно выражение (7A^–1A–2AA^–1)?

2. Канонического уравнения прямой: вывод и геометрический смысл коэффициентов. Что означает, если коэффициент l или m равен нулю? Параметрическая запись уравнения прямой. Запишите уравнение в каноническом виде. Принадлежит ли точка М(4;–2) этой прямой? Если нет, то найдите расстояние от этой точки до данной прямой.

3. Квадратичная форма. Матричная запись квадратичной формы. Взаимосвязь между квадратичными формами и линейными пространствами. Основная теорема о квадратичных формах. Ранг квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм.

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Утверждаю:	Кафедра высшей математики
зав. кафедрой	предмет: алгебра и аналитическая геометрия
___________200___г.	для ФЭФ, гр. М, Р, ФК, Э I курс

Экзаменационный билет № 3

1. Свойства определителей. Пусть detA=3, чему равен detA^–1? Объясните почему сумма произведений элементов какой-либо строки на соответствующие алгебраические дополнения другой строки равна нулю?

2. Деление отрезка в заданном отношении (вывод), в частности деление отрезка пополам.

3. Взаимосвязь между линейными пространствами и квадратичными формами. Приведение квадратичной формы к каноническому виду при помощи линейных преобразований. Метод выделения полных квадратов (метод Лагранжа). Проиллюстрируйте это на примере следующей квадратичной формы: x₁x₂+x₂x₃.

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Утверждаю:	Кафедра высшей математики
зав. кафедрой	предмет: алгебра и аналитическая геометрия
___________200___г.	для ФЭФ, гр. М, Р, ФК, Э I курс