1.3.2. Связь между проекцией и линейными операторами

Мы рассмотрим следующие свойства проекций векторов:

1.

2.

3.

4.

Докажем сначала первое из них.

Теорема 1. Проекция суммы двух векторов на ось равна (геометрической) сумме проекций этих векторов на данную ось. (Здесь проекция понимается как вектор.)

Доказательство. Пусть a и b − данные векторы, l − ось, на которую мы их проек­тируем. (Кстати, в формулировке всех четырёх утверждений можно заменить ось на лю­бой ненулевой вектор.) Реализуем вектор a как направленный отрезок . К его концу приложим вектор b, т. е. найдём такую точку C, чтобы = b. (Это возможно, притом единственным образом.) Обозначим проекции точек A, B и C через A, B и C соответст­венно. Тогда

QED.

Лемма. Координаты вектора суть величины проекций вектора на координатные оси.

Доказательство проведём для абсцисс, для других координат − аналогично. Пусть дан вектор a, который будем представлять приложенным к началу координат: a = . Пусть Q − проекция точки M на координатную плоскость xOy. Разложим наш вектор a в сумму трёх:

a = = + = + + ,

где P и R − ортогональные проекции точки Q на оси абсцисс и ординат соответственно. Однозначным образом найдутся такие числа λ,  и , что

= λe₁, = e₂, = e₃.

Эти числа мы назвали координатами вектора (см. п. 1.2.1, конец лекции № 3).

Теперь заметим, что отрезок MP по школьной теореме о трёх перпендикулярах перпендикулярен оси абсцисс, так что точка P есть (ортогональная) проекция точки M на ось абсцисс. Следовательно, вектор есть проекция вектора a на ось абсцисс. С другой стороны, число λ равно величине вектора , т. е. его длине со знаком плюс, если он сонаправлен с осью абсцисс, и со знаком минус, если они противоположно направлены. Отсюда получаем требуемое утверждение.

Теорема 2. Величина проекции суммы двух векторов на ось равна сумме величин проекций этих векторов на данную ось. (Здесь уже речь идёт о проекции как числе, снаб­жённом знаком.)

Доказательство. Введём в пространстве декартову прямоугольную систему коор­динат так, чтобы данная ось служила осью абсцисс. (Это можно сделать многими спосо­бами.) Тогда по лемме

Pr_l (a + b) = abs (a + b) = abs a + abs b = Pr_l a + Pr_l b,

QED. Аналогично доказываются свойства 2 и 4 проекций.

1.3.3. Определение скалярного произведения

Определение 1. Для любых двух векторов a и b (плоскости или пространства) их скалярным произведением называется число

(a, b) = |a|∙|b|∙cos (a, b). (1)

При этом угол между векторами a и b измеряется так, чтобы он был неотрицатель­ным и не превосходил 180 (предполагаем, что векторы приведены к общему началу). То­гда этот угол определён однозначно, за исключением случая, когда хотя бы один из двух данных векторов равен 0. В этом последнем случае величина угла является полностью не­определённой (или можно считать, что любое число является значением этого угла). Заме­тим, что если хотя бы один из векторов a или b нулевой, то в соответствии с определением (1) их скалярное произведение равно нулю (или можно это считать дополнительным со­глашением, поскольку косинус угла является полностью неопределённым).

Определение 2. Два вектора называются ортогональными⁶, если угол между ними равен 90.

Добавим, что нулевой вектор мы будем считать ортогональным любому другому (а также самому себе). Это соглашение можно объяснить следующим образом: поскольку в этом случае любое число можно считать значением угла, то, в частности, можно считать, что угол равен 90.

Предложение. Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Доказательство. Очевидно из определения, т. к. если произведение трёх чисел в правой части равенства (1) равно нулю, то либо хотя бы один из двух данных векторов имеет нулевую длину и, следовательно, сам нулевой и, значит, ортогонален второму дан­ному вектору, либо оба вектора ненулевые, но тогда косинус угла между ними равен 0, а значит, сам этот угол равен 90.

Определение 3. Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом вектора.

Очевидно, что скалярный квадрат равен квадрату длины данного вектора: (a, a) = = |a|², т. к. угол между a и a равен 0. Отсюда имеем формулу для вычисления длины век­тора через его скалярный квадрат:

|a| =