1.1.3. Основные свойства операций над векторами

1) (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность сложения);

2) a + b = b + a (коммутативность сложения);

3) a + 0 = 0 + a = a (существование нейтрального элемента по сложению);

4) a + (−a) = (−a) + a = 0 (существование противоположного элемента);

5) (λ + )a = λa + a;

6) λ(a + b) = λa + λb;

7) (λ)a = λ(a) (ассоциативность умножения на скаляр);

8) 1∙a = a.

Свойства 5 и 6 в совокупности называются дистрибутивностью, свойство 8 спе­циального названия не имеет. Свойства 1, 3 и 4 были доказаны выше, 2 было предостав­лено читателю. Свойство 8 совершенно очевидно, доказательство свойств 5, 6 и 7 предос­тавляю читателю.

Хотя помимо приведённых восьми свойств, называемых основными, можно сфор­мулировать множество других (некоторые из них сейчас будут приведены и доказаны), однако эти 8 свойств играют ту важную роль, что в принципе любое другое свойство можно чисто логически вывести из этих основных свойств, не опираясь на геометрию.

Примеры. 1. 0∙a = 0.

Доказательство. 0∙a = (0 + 0)∙a = 0∙a + 0∙a;

0∙a + (−(0∙a)) = (0∙a + 0∙a) + (−(0∙a));

0 = 0∙a + (0∙a + (−(0∙a)));

0 = 0∙a + 0;

0 = 0∙a, QED.

Вы, конечно, можете сказать, что гораздо проще доказать это утверждение, обра­тившись непосредственно к определению умножения вектора на скаляр. Это так, но я хо­тел на этом примере показать, как можно выводить разнообразные свойства чисто логиче­ски из восьми основных.

2. λ∙0 = 0.

Доказательство. λ∙0 = λ(0 + 0) = λ∙0 + λ∙0;

λ∙0 + (−(λ∙0)) = (λ∙0 + λ∙0) + (−(λ∙0));

0 = λ∙0 + (λ∙0 + (−(λ∙0)));

0 = λ∙0 + 0;

0 = λ∙0, QED.

3. λ(a − b) = λa − λb (дистрибутивность умножения относительно вычитания).

Доказательство. Достаточно доказать, что

λ(a − b) + λb = λa.

Но действительно,

λ(a − b) + λb = λ((a − b) + b) = λa.

4. (λ − )a = λa − a (дистрибутивность).

Доказательство. Достаточно доказать, что

(λ − )a + a = λa.

Но действительно,

(λ − )a + a = ((λ − ) + )a = λa.

5. Если λa = 0, то λ = 0 или a = 0.

Доказательство. В самом деле, пусть λa = 0. Если λ ≠ 0, то

a = 1∙a = (λ⁻¹λ)a = λ⁻¹(λa) = λ⁻¹∙0 = 0, QED.

А теперь мы в состоянии доказать единственность λ в формулировке предложения о двух параллельных векторах:

Предложение. Если a||b и b ≠ 0, то существует такое λ  R, что a = λb. Более того, это число (скаляр) λ определяется единственным образом.

Доказательство единственности. Пусть a = λb и вместе с тем a = b. Тогда

0 = λb − b = (λ − )b,

откуда λ −  = 0 или b = 0. Но по условию предложения b ≠ 0, так что λ −  = 0, т. е. λ = , QED.

§ 1.2. Системы координат и базисы

1.2.1. Основные определения

Определение 1. Базисом в двумерном пространстве (т. е. на плоскости) называется любая пара неколлинеарных векторов.

Определение 2. Базисом в трёхмерном пространстве называется любая тройка не­компланарных векторов.

Определение 3. Стандартным базисом в двумерном пространстве (т. е. на плос­кости) называется пара (неколлинеарных) векторов e₁, e₂, из которых первый есть вектор единичной длины, коллинеарный оси абсцисс и сонаправленный с нею, а второй есть век­тор единичной длины, коллинеарный оси ординат и сонаправленный с нею. Обыкновенно будем представлять себе эти векторы приложенными к началу координат.

Определение 4. Стандартным базисом в трёхмерном пространстве называется тройка (некомпланарных) векторов e₁, e₂, e₃, из которых первый есть вектор единичной длины, коллинеарный оси абсцисс и сонаправленный с нею, второй есть вектор единич­ной длины, коллинеарный оси ординат и сонаправленный с нею, а третий есть вектор еди­ничной длины, коллинеарный оси аппликат и сонаправленный с нею. Обыкновенно будем представлять себе эти векторы приложенными к началу координат.

Предложение 1. Пусть a, b − базис плоскости, т. е. пара неколлинеарных векторов. Тогда любой третий вектор c этой же плоскости может быть разложен по этому базису, т. е. представлен в виде линейной комбинации векторов a и b. Это означает, что найдутся такие числа λ и , что имеет место равенство:

c = λa + b.

Более того, коэффициенты λ и  определяются единственным образом.

Доказательство. Приведём векторы a, b и c к общему началу S и пусть a = , b = = , c = . Проведём через точку C прямую, коллинеарную вектору b, до пересечения с линией вектора a в точке P. (Эта прямая не может быть коллинеарна вектору a, т. к. в про­тивном случае векторы a и b были бы коллинеарны.) Имеем:

c = = + .

Т. к.  a, а  b, то по предложению о двух коллинеарных векторах = λa, а = = b для некоторых чисел λ и . Существование разложения доказано.

Для доказательства единственности предположим, что

λ₁a + ₁b = λ₂a + ₂b.

Тогда

λ₁a − λ₂a = ₂b − ₁b;

(λ₁ − λ₂)a = (₂ − ₁)b.

Если λ₁ ≠ λ₂, то a = , и векторы a и b коллинеарны, что противоречит усло­вию. А если λ₁ = λ₂, то (₂ − ₁)b = 0, а т. к. b ≠ 0 (векторы a и b неколлинеарны), то ₂ = ₁, QED.

Предложение 2. Пусть a, b, c − базис трёхмерного пространства, т. е. тройка не­компланарных векторов. Тогда любой четвёртый вектор d может быть разложен по этому базису, т. е. представлен в виде линейной комбинации векторов a, b и c. Это означает, что найдутся такие числа λ,  и , что имеет место равенство:

d = λa + b + c.

Более того, коэффициенты λ,  и  определяются единственным образом.

Доказательство. Приведём векторы a, b, c и d к общему началу S и пусть a = , b = , c = , d = . Обозначим через π плоскость, проведённую через векторы a и b. Эта плоскость определяется однозначно, ибо векторы a и b неколлинеарны (иначе тройка a, b, c была бы компланарной). Проведём через точку D прямую, коллинеарную вектору c, до пересечения с плоскостью π в точке P. (Эта прямая не может быть параллельна плоско­сти π или лежать в ней, т. к. в противном случае вектор c лежал бы в ней, и векторы a, b, c были бы компланарны.) Имеем:

d = = + .

Т. к.  c, то по предложению о двух коллинеарных векторах = c для некоторого числа . Что же касается вектора , то он лежит в плоскости π, и по предыдущему предло­жению может быть представлен в виде:

= λa + b.

Существование разложения доказано.

Для доказательства единственности предположим, что

λ₁a + ₁b + ₁c = λ₂a + ₂b + ₂c.

Тогда

₁c − ₂c = λ₂a − λ₁a + ₂b − ₁b;

(₁ − ₂)c = (λ₂ − λ₁)a + (₂ − ₁)b.

Если ₁ ≠ ₂, то c = , и вектор c лежит в плоскости π, т. е. a, b, c компланарны, что противоречит условию. А если ₁ = ₂, то

λ₁a + ₁b = λ₂a + ₂b,

и по предыдущему предложению λ₁ = λ₂, ₂ = ₁, QED.

Определение 5. Координатами вектора a называются (однозначно определённые) коэффициенты в разложении его по стандартному базису. Первая координата называется абсциссою и обозначается absc. a. Вторая координата называется ординатою и обознача­ется ord. a. Третья координата называется аппликатою и обозначается appl. a.

Определение. Координатами точки M (абсциссой, ординатой и аппликатой) на­зываются соответствующие координаты вектора (где O − начало координат).

Таким образом, по определению

absc. M = absc. ;

ord. M = ord. ;

appl. M = appl. .

Если = {λ; ; }, то M = (λ; ; ) (так обозначаем координаты точки M).

Связь между операциями над векторами и их координатами

Предложение 1. При сложении векторов их соответствующие координаты склады­ваются, при умножении на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр.

Это можно сформулировать ещё так: абсцисса (ордината, аппликата) суммы двух векторов равна сумме абсцисс (ординат, аппликат) данных векторов. Аналогично для умножения на скаляр.

Доказательство проведём для простоты для плоского случая. Итак, пусть даны два вектора a = {x₁; y₁} и b = {x₂; y₂}. Мы хотим доказать, что a + b = {x₁ + x₂; y₁ + y₂}. В самом деле,

{x₁ + x₂; y₁ + y₂} = (x₁ + x₂)e₁ + (y₁ + y₂)e₂ = (x₁e₁ + x₂e₁) + (y₁e₂ + y₂e₂) =

= (x₁e₁ + y₁e₂) + (x₂e₁ + y₂e₂) = {x₁; y₁} + {x₂; y₂} = a + b,

QED. Доказательство для случая умножения на скаляр, а также доказательство обоих утверждений предложения для трёхмерного случая предоставляю читателю.

Вычисление координат вектора по координатам его начала и конца

Предложение 2. Координаты вектора, соответствующего данному направленному отрезку, равны разности соответствующих координат конца и начала этого отрезка.

Другими словами, если даны точки A = (x₁; y₁; z₁) и B = (x₂; y₂; z₂), то = {x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁}. Докажем это.

Обозначим (неизвестные пока) координаты вектора через {α; β; γ}. Имеем равен­ство + = (O − начало координат). Координаты вектора равны {x₁; y₁; z₁} (по определению координат точки), аналогично = {x₂; y₂; z₂}. В силу предложения 1 имеем:

{x₂; y₂; z₂} = {x₁; y₁; z₁} + {α; β; γ} = {x₁ + α; y₁ + β; z₁ + γ}.

Таким образом,

x₂ = x₁ + α; y₂ = y₁ + β; z₂ = z₁ + γ

(координаты вектора определяются единственным образом), откуда α = x₂ − x₁, β = y₂ − y₁ и γ = z₂ − z₁, QED.