2.2.1. Общие уравнения прямой

Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:

Обозначим через n₁ вектор {A₁; B₁; C₁}, а через n₂ вектор {A₂; B₂; C₂}. Потребуем, чтобы векторное произведение [n₁, n₂] ≠ 0. Тогда и векторы n₁ и n₂ не будут равны нулю (иначе [n₁, n₂] = 0). Следовательно, каждое из двух уравнений (4) определяет плоскость, причём эти две плоскости в силу предложения 1 п. 2.1.2 некомпланарны, а значит, пересекаются по некоторой прямой линии.

Таким образом, множество точек, координаты которых удовлетворяют системе уравнений (4) при соблюдении условия [n₁, n₂] ≠ 0, представляет собой прямую линию, которую мы обозначим через l.

Выберем теперь произвольную точку M₀ на этой прямой и через выбранную точку проведём плоскость π, данной прямой перпендикулярную. Будем теперь представлять себе, что векторы n₁ и n₂ приложены к точке M₀. Тогда в силу того, что несущая прямая вектора n₁ перпендикулярна первой плоскости из системы (4), а прямая l лежит в этой первой плоскости, вектор n₁ перпендикулярен прямой l, а значит, лежит в плоскости π. Аналогично рассуждая, получаем, что и вектор n₂ лежит в плоскости π. Рассмотрим те­перь вектор [n₁, n₂]. Он перпендикулярен векторам n₁ и n₂; следовательно, он перпендику­лярен плоскости π (векторы n₁ и n₂ неколлинеарны); значит, этот вектор коллинеарен прямой l.

Определение 1. Ненулевой вектор, коллинеарный прямой, называется направляю­щим вектором этой прямой.

Таким образом, мы доказали

Предложение. Система уравнений (4) при условии [n₁, n₂] ≠ 0 определяет прямую линию, одним из направляющих векторов которой является вектор [n₁, n₂].

Определение 2. Система уравнений вида (4) называется общими уравнениями пря­мой.

2.2.2. Канонические уравнения

Рассмотрим уравнения вида

и обозначим через l вектор {α; β; γ}, а через M₀ точку с координатами (x₀; y₀; z₀).

Теорема. Уравнения (5) при условии l ≠ 0 определяют в трёхмерном пространстве прямую линию, проходящую через точку M₀ = (x₀; y₀; z₀) и имеющую в качестве направ­ляющего вектора l.

Доказательство мы поведём при дополнительном предположении, что все три числа α, β и γ не равны нулю. Обозначим через Γ множество всех тех и только тех точек трёхмерного пространства, координаты которых удовлетворяют уравнениям (5).

Сначала докажем, что уравнения (5) вообще определяют прямую линию. Для этого перепишем их следующим образом:

Теперь умножим первое уравнение на αβ, а второе на βγ. Получим равносильную систему:

Фактически мы получили общие уравнения некоторой прямой. Надобно только прове­рить, что нормальные векторы не коллинеарны. Выпишем эти векторы:

n₁ = {β; −α; 0};

n₂ = {0; γ; −β}

и вычислим их векторное произведение:

[n₁, n₂] = {αβ; β²; βγ} = β{α; β; γ}.

Мы получили ненулевой вектор, коллинеарный вектору {α; β; γ}. Следовательно, Γ есть прямая линия, коллинеарная l и, очевидно, проходящая через точку M₀ = (x₀; y₀; z₀), QED.

2.2.3. Параметрические уравнения

Здесь мы поговорим о параметрических уравнениях вообще. Рассмотрим уравне­ния следующего вида:

Здесь x(t), y(t) и z(t) представляют собою функции, определённые на одном и том же про­межутке Δ = ‹α; β› и непрерывные на нём (с обычной оговоркой относительно концов). Возьмём какое-либо конкретное значение параметра t₁  Δ и отметим точку с координа­тами (x(t₁); y(t₁); z(t₁)). Взяв другое значение параметра, мы с помощью той же процедуры можем отметить другую точку (случайным образом она может совпасть с первой). Проде­лывая это с каждой точкой промежутка Δ (т. е. с каждым возможным значением пара­метра t), мы получим некоторую совокупность точек пространства (вообще говоря, беско­нечную), которую можно назвать линией или кривой. В такой ситуации говорят, что урав­нения (6) определяют эту кривую или являются параметрическими уравнениями этой ли­нии.

Классический пример (правда, на плоскости, а не в пространстве): уравнения

представляют собою параметрические уравнения единичной окружности.

Для аналитической геометрии важен, конечно, случай, когда параметризующие функции x(t), y(t) и z(t) линейны. Итак, рассмотрим параметрические уравнения следую­щего вида:

Всегда будем считать, что Δ = (−∞; ∞) = R.

Теорема. Параметрические уравнения (7) при условии l = {α; β; γ} ≠ 0 определяют в трёхмерном пространстве прямую линию, проходящую через точку M₀ = (x₀; y₀; z₀), для которой вектор l является направляющим.

Доказательство. Здесь также будем предполагать, что все три числа α, β и γ не равны нулю. Обозначим через Γ множество точек, определяемое уравнениями (7), и рас­смотрим уравнения

определяющие, как мы видели, прямую L, проходящую через точку M₀ = (x₀; y₀; z₀), для которой вектор l является направляющим. Нам достаточно, стало быть, доказать, что Γ = = L.

Для доказательства этого факта возьмём произвольную точку M₁ = (x₁; y₁; z₁)  L и заметим, что для неё удовлетворяются уравнения (5):

Общее значение этих трёх величин обозначим t₁; имеем:

Но это означает, что M₁ = (x₁; y₁; z₁)  Γ. Обратно, пусть точка M₂ = (x₂; y₂; z₂)  Γ. Это означает существование такого t₂, для которого выполняются соотношения:

из которых немедленно получаем:

что означает, что M₂ = (x₂; y₂; z₂)  L, QED.

1 Я почерпнул его в учебнике П. С. Моденова «Аналитическая геометрия».

2 От латинского слова mediocritas ‛середина’.

3 Quod erat demonstrandum (лат.) ‛что и требовалось доказать’.

4 Длину вектора a обозначаю |a| (аналогично для отрезка).

5 Точнее, несущие прямые каких-нибудь (а значит, и любых) их представителей коллинеарны. Подобные замечания я уже не буду делать впредь.

6 В математике используются три синонима: перпендикулярный, ортогональный и нормальный.

7 От слова замостить (плоскость), однокоренного к слову мост.

8 Carl Gustav Jacob Jacobi (Карл Густав Якоб Яко́би, 10.12.1804, Потсдам − 18.02.1851, Берлин) − из­вестный немецкий математик, родной брат российского академика, физика Бориса Семёновича Якоби.

9 Carl Gustav Jacob Jacobi (Карл Густав Якоб Яко́би, 10.12.1804, Потсдам − 18.02.1851, Берлин) − из­вестный немецкий математик, родной брат российского академика, физика Бориса Семёновича Якоби.