Метод обратной итерации нахождения минимального по модулю собственного значения. Условия целесообразности его использования

Квадратная -матрица имеет полную систему нормированных собственных векторов , определенных в (1), и предположим, что

. (6)

Для произвольно выбранного вектора определим:

, (7)

(8)

Если матрица невырожденная, то уравнение (7) можно записать в виде:

Итерации (7), (8) в этом случае описывают степенной метод для матрицы , обратной к . Если

собственные значения матрицы , то

собственные значения матрицы , а соответствующие собственные векторы совпадают. Тогда согласно условию (6) при сходится к максимальному по модулю собственному значению матрицы , т.е. к минимальному по модулю собственному значению матрицы . Векторная последовательность при стремится по направлению к вектору .

Вычисление обратной матрицы является трудоемкой задачей, поэтому имеет смысл вектор определять как решение системы линейных алгебраических уравнений (7). Тогда метод обратной итерации имеет смысл использовать в виде:

Шаг 1. Выбрать единичный вектор .

Шаг 2. Для сделать:

а) решить систему линейных уравнений

;

б) ;

в) ;

г) сравнить с заданной погрешностью вычисления.

Алгоритм этого метода записывается аналогично алгоритма степенного метода. При этом целесообразно предварительно разложить матрицу в произведение , где - нижняя треугольная матрица с единицами на главной диагонали, а - верхняя треугольная. Если такое разложение имеется, то количество операций на каждом шаге метода обратной итерации сравнимо с количеством операций для степенного метода. При этом нужно арифметических операций для этапа 2(а), операций для этапа 2(б), - на этапе 2(в). Значительные начальные затраты на треугольное разложение матрицы ( )могут быть амортизированы по всем сделанным шагам. Недостатки этого метода аналогичны степенному. Но для метода обратной итерации выбор сдвига (о чем будет рассказано ниже) может значительно улучшить скорость его сходимости.

Нахождение наименьшего собственного значения положительно определенной матрицы

Рассмотрим еще один способ определения наименьшего собственного значения матрицы.

Пусть - симметричная и положительно определенная матрица. В этом случае все ее собственные значения положительны. Обозначим - максимальное, - единственное минимальное собственные значения матрицы.