Алгоритм определения количества собственных значений, меньших заданного числа, его преимущества и недостатки

Существует простой способ определения количества собственных значений симметричной матрицы , меньших произвольно заданного . Результатом здесь является целое число, поэтому этот метод свободен от «неприятностей» машинной арифметики. Рассматриваемый метод является следствием теоремы Сильвестра.

Теорема. Предположим, что для матрицы существует треугольное разложение: . Количество собственных значений матрицы , меньших заданного , равно количеству отрицательных диагональных элементов верхней треугольной матрицы .

В соответствии с предыдущей теоремой алгоритм определения количества собственных значений , меньших заданного числа , выглядит следующим образом:

1. Для заданного построить матрицу ;

2. Для матрицы построить треугольное -разложение;

3. В матрице определить количество отрицательных диагональных элементов. Это количество равно числу собственных значений матрицы , меньших .

Алгоритм поиска ближайшего к заданному числу собственного значения

Пусть необходимо найти собственное значение , ближайшее к заданному , меньшее . Используя алгоритм предыдущего пункта. Найдем количество собственных значений, меньших . Пусть их будет . Возьмем , найдем количество собственных значений меньших . Допустим, их меньше . Тогда в имеются собственные значения. Разделим пополам ( - середина отрезка ). Найдем количество собственных значений, меньших . Если количество собственных значений, меньших , равно количеству собственных значений, меньших , рассматривается отрезок , иначе , и т.д. различные ситуации здесь очевидны.

Степенной метод нахождения максимального по модулю собственного значения. Область применимости степенного метода

Предположим, что квадратная -матрица имеет полную систему нормированных собственных векторов :

, (1)

где - скалярное произведение в -мерном евклидовом пространстве, - собственное значение матрицы , которое соответствует собственному вектору .

Предположим, что

, (2)

т.е. существует единственное собственное значение, максимальное по модулю.

Возьмем произвольно вектор и построим векторную последовательность по рекурентным соотношениям:

.

Разложим вектор по собственному базису :

.

Учитывая, что

получим:

(3)

Из (3) вытекает, что

.

Рассмотрим векторную последовательность , элементы которой определяются согласно формуле:

(4)

Из предположения (2) вытекает, что при все слагаемые в правой части (4), кроме первого, стремятся к нулю, а первый

.

Таким образом

,

т.е. последовательность стремится при к собственному вектору матрицы , который отвечает максимальному по модулю собственному значению . Кроме того

.

Таким образом

. (5)

Такой метод нахождения максимального по модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора называется степенным методом или методом итераций, который пошагово выглядит следующим образом:

Шаг 1. Выбрать произвольно (на практике выбирается так, чтобы ).

Шаг 2. Для делать:

а) ;

б) ;

в) ;

г) сравнить с заданной погрешностью вычислений.

Для реализации этого метода достаточно в памяти ЭВМ хранить матрицу , два вектора , и два приближения и к максимальному по модулю собственному значению. В этом случае алгоритм можно записать следующим образом:

Шаг 1. Задать точность вычисления и начальное приближение к максимальному по модулю собственному значению ;

Шаг 2. Выбрать вектор ( );

Шаг 3. Сделать:

а) , = ;

б) ;

в) ;

г) если ,

то - искомое собственное значение, - соответствующий собственный вектор,

иначе перейти на шаг 3.

Главным преимуществом степенного метода является то, что в нем не надо делать никаких преобразований матрицы . Каждый шаг этого метода требует арифметических операций для этапа 3(а), операций для этапа 3(б), - на этапе 3(в).

Главным недостатком степенного метода является то, что он может очень медленно сходиться, а в случае, когда матрица имеет несколько собственных значений с максимальным модулем, метод вообще расходится.