Метод хорд решения нелинейного уравнения. Геометрический смысл

Метод хорд (или метод секущих) решения нелинейного уравнения (1) не требует для получения очередного приближения вычисления производной и не настолько, как метод Ньютона, зависит от правильности выбора начальных приближений.

Предположим, что содержит единственный корень уравнения (1). Пусть для функции выполняются условия:

1. И непрерывны на ;

2. , на .

Начальными для метода хорд является не одно, а два приближения к решению: , . Выясним сначала геометрическое расположение очередного приближения (рис.3). Для его получения в методе хорд через точки графика функции с координатами , проводится хорда до пересечения с осью ОХ. Точка пересечения построенной хорды и ОХ и дает следующее приближение к решению уравнения. Для получения аналитического выражения вычисления рассмотрим два прямоугольных подобных треугольника: и (рис.3). Из подобия треугольников вытекает следующая пропорция:

Рис.3.

.

Подставляя в эту пропорцию выражения для длин соответствующих сторон треугольников, получим:

. (9)

Разрешая уравнение (9) относительно очередного приближения к решению, получим:

.

Общая итерационная формула метода секущих имеет вид:

Каждая итерация метода связана с получением очередного приближения к решению уравнения.

Скорость сходимости метода хорд. Преимущества и недостатки

Можно показать, что скорость сходимости метода секущих оценивается по формуле:

, (10)

где

Метод Ньютона решения системы нелинейных уравнений, его модификация, уменьшающая вычислительную сложность

Рассматривается система уравнений (1). Пусть функции , в некоторой выпуклой области , содержащей решение системы (1), имеют непрерывные производные первого порядка и в некоторой окрестности решения матрица производных первого порядка

(4)

является невырожденной.

Обозначим: , , . Последовательность приближений к решению систмы (1) строится по итерационной формуле:

, (5)

где - это числовая матрица, полученная из путем вычисления значений производных первого порядка в точке .

Формула (5) – это итерационная формула метода Ньютона решения системы нелинейных уравнений (1) (формально она очень напоминает формулу Ньютона для решения одного нелинейного уравнения).

Итерационная формула (5) не очень удобна для вычислений, поскольку требует обращения матрицы производных первого порядка. Для ее упрощения перенесем в (5) влево с противоположным знаком, и умножим полученную формулу слева на матрицу :

(6)

Формула (6) – это система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных с матрицей . Ее решение менее вычислительно затратно, чем обращение матрицы. На практике при решении системы нелинейных уравнений методом Ньютона используется именно итерационная формула (6), а не (5).

Метод Ньютона при решении системы нелинейных уравнений, являясь одним из наиболее быстро сходящихся методов, обладает тем же значительным недостатком, что и для решения одного уравнения: для сходимости метода к решению системы очень важно, чтобы начальное приближение находилось в достаточно малой окрестности точного решения.