Тема 11. Статистичні методи

вимірювання взаємозв’язків

Базові поняття і терміни

Суспільні явища, що впливають на інші явища, називають ознаками-факторами, або факторними ознаками (х).

Явища, які змінюються під впливом факторних явищ, назива­ють результативними (наслідковими) ознаками (у).

Види зв'язків суспільних явищ

1) за характером дії:

• функціональні зв'язки - це зв'язки, за яких кожному можливому значенню факторної ознаки х відповідає чітко виз­начене значення результативної ознаки - у, тобто функціональні зв'язки характеризуються повною відповідністю між причиною і наслідком, факторною і результативною озна­ками. Вони вивчаються у статистиці за допомогою Індексного методу.

• стохастичні зв'язки виявляються як узгодженість варіації двох чи більше ознак. У ланці зв'язку "х → у" кожному значенню ознаки х відповідає певна множина значень ознаки у, які утворюють так званий умовний розподіл. f

• кореляційні зв'язки — це різновид стохастичних зв'язків, коли умовні розподіли замінюються одним параметром -середньою у,.

Схематична ілюстрація класифікації зв'язків за характером дії наведена в таблиці 7.1;

Види взаємозв'язків за характером дії

Таблиця 7.1.

Факторна ознака, Хi	Результативна ознака y при наявності зв’язку
	функціонального	стохастичного	кореляційного
Х1	У1	У1У2
Х2	У2	У1У2У3
Х3	У3	У2У3У4
…	…	…	…
Хn	Уn	Уn-1Уn

2) За напрямком дії

Прямий зв'язок - це такий зв'язок, при якому зі збільшенням

або зменшенням значень факторної ознаки відповідно збільшується або зменшується значення результативної ознаки, тобто факторна і результативна ознаки змінюються в одному напрямку.

Оберненим зв'язком називають такий зв'язок, при якому значення результативної ознаки змінюється у протилежному напрямку відносно зміни значення факторної ознаки.

3)За формою аполітичного вираження

Прямолінійні зв'язки - це зв'язки, за яких залежність резуль­тативної ознаки від певної ознаки-фактора може бути виражена рівнянням прямої лінії.

Криволінійні зв'язки - це зв'язки, за яких залежність резуль­тативної ознаки від певної ознаки-фактора може бути виражена рів­нянням якої-небудь кривої (гіперболи, параболи та ін.)

1. За кількістю ознак-факторів

Одно факторний зв'язок — це зв'язок, за якого досліджується залежність результативної ознаки тільки від однієї ознаки-фактора.

Багатофакторний зв'язок — це зв'язок, за якого досліджується кореляційна залежність результативної ознаки одночасно від декелькох ознак-факторів.

Статистичні методи вивчення взаємозв'язків

Для вивчення функціональних зв'язків використовують такі методи:

• індексний метод (див. розділ 10);

• балансовий метод, який виражається в побудові натуральних, трудових та вартісних балансів;

• графічний метод, при якому напрям зв'язку визначають за положенням значень у системі координат: якщо точки розмі­щені зліва, знизу, праворуч, вгору - зв'язок прямий, якщо ж навпаки (зліва, зверху, праворуч, вниз)-зв'язок обернений.

Для вивчення стохастичних зв 'язків використовуються такі методи:

• метод порівняння паралельних, рядів;

• метод аналітичних групувань;

• дисперсійний аналіз;

• кореляційний аналіз,

Метод порівняння паралельних рядів полягає у вивченні отриманих у результаті зведення матеріалів, розміщених паралель­ними рядами або за ознакою простору або за ознакою часу.

Для орієнтовного виявлення наявності зв'язку та його направ­леності у випадках, коли порівнювальні ряди містять велику кількість одиниць, доцільно знайти для кожного ряду середню і визначити, в яку сторону відхиляється від неї значення ознаки кожної одиниці.

Якщо відхилення в одному ряді достатньо часто збігається за направленістю (знаком) з відхиленням у другому ряді, то доцільно вести мову про прямий зв'язок, а якщо частіше зустрічаються проти­лежні за направленістю (знаком) відхилення, то - зв'язок обернений. Якщо збіг і незбіг знаків відхилень зустрічається приблизно однаково часто, то зв'язку або немає, або він мало виражений.

Для приблизного визначення направленості зв'язку та грубої оцінки щільності зв'язку може бути використаний коефіцієнт Фішера:

де з — кількість випадків збігу знаків відхилень;

Н - кількість випадків незбігу знаків відхилень.

Цей коефіцієнт набуває значення від +1 (знаки усіх відхилень збігаються - зв'язок прямий) до -1 (знаки усіх відхилень не збігаються - зв'язок обернений). При К=0 зв'язок відсутній, або він дуже слабкий.

Метод аналітичного групування полягає в тому, що всі елементи сукупності групують, як правило, за факторною ознакою х і в кожній групі обчислюють середні значення результативної ознаки у, тобто лінія регресії оцінюється лише в окремих точках, які відпо­відають певному значенню х.

При визначенні кількості груп і меж інтервалів слід зважити на той факт, що типовість та сталість групових середніх залежить від чисельності груп. На практиці аналітичне групування часто вико­нується за принципом рівних інтервалів, що значно спрощує подаль­ший аналіз зв'язку.

Побудовану за результатами аналітичного групування таблицю називають кореляційною таблицею. Якщо частоти у кореляційній таблиці розташовані по діагоналі з лівого верхнього кута у правий нижній кут, тобто більшим значенням фактора відповідають більші значення функції, то передбачається наявність прямого кореляційного зв'язку між ознаками. Якщо ж частоти розташовані по діагоналі з правого кута у лівий, то передбачають наявність оберненого зв'язку між ознаками.

На другому етапі проводиться оцінка лінії регресії - у кожній групі за факторною ознакою обчислюють середні значення резуль­тативної та факторної ознак. Групові середні обчислюють за вихід­ними незгрупованими даними.

Крім того аналітичне групування дає змогу встановити кількісні співвідношення між ознаками, що вивчаються. Можна не лише стверджувати, що існує кореляційний зв'язок між факторною х і результативною у ознаками, а й визначити, як у середньому змінюється у зі зміною х на одиницю- Ефекти впливу х на у визна­чаються відношенням приростів середніх групових

і т.д.

Третій етап аналітичного групування - вимірювання тісноти зв'язку за допомогою дисперсійного аналізу.

Основною метою дисперсійного аналізу є виявлення впливу окремих факторів чи умов, які визначають варіацію ознаки. В основі дисперсійного аналізу лежить закон розкладання загальної дисперсії на складові, згідно якого загальна дисперсія результативної ознаки у складається із двох частин: міжгрупової (факторної") дисперсії та середньої з групових (залишкової¹).

Взаємозв'язок факторної та залишкової варіації описується правилом розкладання дисперсії:

Загальна дисперсія характеризує варіацію результативної ознаки під впливом всіх факторів і причин, як систематично діючих, так І випадкових. Загальна дисперсія результативної ознаки обчис­люється за індивідуальними значеннями ознаки у.

Міжгрупова дисперсія характеризує варіацію групових серед­ніх, тобто варіацію результативної ознаки, яка пов'язана з варіацією групувальної факторної ознаки.

Середня з групових дисперсій характеризує варіацію резуль­тативної ознаки, пов'язану з варіацією всіх факторних ознак, крім" тієї, яка покладена в основу групування.

або

Суть дисперсійного аналізу полягає у зіставленні (порівнянні) між собою різних видів дисперсій: міжгрупової та загальної, загаль­ної та внутрішньогрупової, міжгрупової та внутрішньогрупової.

Відношення міжгрупової (факторної") дисперсії до загальної розглядається як міра щільності кореляційного зв'язку і називається коефіцієнтом детермінації.

За статистичною структурою це відношення є часткою варіації результативної ознаки у, яка пов'язана з варіацією ознаки х. Здобув­ши квадратний корінь із цього відношення, одержуємо емпіричне кореляційне відношення.

Кореляційне відношення змінюється від 0 до 1. Якщо , міжгрупова дисперсія дорівнює нулю. Це можливо лише за умови, коли всі групові середні однакові і кореляційний зв'язок між ознаками відсутній. При міжгрупова дисперсія дорівнює загальній, а середня з групових — нулю. В цьому випадку кожному значенню факторної ознаки відповідає єдине значення результативної ознаки, тобто зв'язок між ознаками функціональний.

Індекс кореляції визначають зіставленням внутрішньогрупової і загальної дисперсії, і обчислюють за формулою:

Чим ближче R до 1, тим тісніший зв'язок між ознаками. Перевірка істотності відхилень групових середніх здійснюється за допомогою критеріїв математичної статистики. Вона ґрунтується на порівнянні фактичного значення з так званим критичним. Останнє є тим максимально можливим значенням кореляційного відношення, яке може виникнути випадково при відсутності кореля­ційного зв'язку. Якщо фактичне значення більше від критичного, то зв'язок між результативною і факторною ознаками вважається істотним. Якщо фактичне значення менше критичного, то наявність кореляційного зв'язку між ознаками не доведена і зв'язок вважається неістотним.

Для оцінки надійності кореляційних характеристик використовують критерії Фішера F або Стьюдента t.

Критерій Фішера (F- критерій) визначається за формулою

де - міжгрупова дисперсія;

- середня з групових (залишкова) дисперсія;

k₁ і k₂ - ступені вільності для великої і малої дисперсій.

Фішер знайшов розподіл відношень дисперсій і розробив відповідні математичні таблиці, в яких наводиться теоретичний F-критерій (F_T) при двох ймовірностях 0,95 і 0,99. Якщо Рф > F_T, то з прийнятим ступенем ймовірності можна стверджувати про наявність впливу фактору, який вивчається. Коли ж Р_ф < F_r , то різниця між дисперсіями зумовлена впливом випадкових факторів.

Розподіл у таблицях Фішера для знаходження F_T залежить від ступенів вільності міжгрупової kj і середньої з групових кг дисперсій. В аналітичному групуванні їх обчислюють за формулами:

де n - кількість елементів досліджуваної сукупності; т - число груп.

Надійність кореляційного відношення за критерієм Стьюдента (t - критерію) визначається за формулою:

де - середня похибка кореляційного відношення

Якщо критерій Стьюдента > 3, показник кореляційного відношення вважають вірогідним (тобто зв'язок між досліджуваними явищами є доведеним). Якщо ж критерій t < З, то висновки про вірогідність зв'язку між досліджуваними явищами сумнівні.